Analisi e geometria 2

Synthetic program:

Spazi vettoriali. Matrici. Sistemi lineari. Funzioni lineari e quadratiche. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Serie numeriche e di Fourier. Funzioni di piu' variabili. Derivate parziali, derivate direzionali, gradiente. Funzioni implicite. Ottimizzazione libera e vincolata. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Integrali doppi e tripli. Lavoro di un campo. Campi conservativi e funzione potenziale. Superfici, integrali di superficie. Teoremi di Stokes e della divergenza.

Argomento 1. Algebra lineare. Vettori e spazi vettoriali, prodotto scalare, norma di un vettore. Dipendenza e indipendenza lineare. Determinante e rango di una matrice. Funzioni lineari. Teorema di rappresentazione. Autovalori e autovettori, diagonalizzazione di una matrice. Matrici simmetriche, definite positive. Forme quadratiche, classificazione delle coniche. Sistemi di equazioni lineari. Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli. Metodo di eliminazione di Gauss.

Argomento 2. Equazioni differenziali II. Equazioni lineari del second'ordine a coefficienti costanti. Problemi di Cauchy e ai limiti. Integrale generale dell’equazione omogenea e non omogenea (metodo di somiglianza). Vibrazioni meccaniche. Sistemi di due equazioni del primo ordine. Cenni a equazioni e sistemi lineari di ordine superiore. Per questo argomento è previsto l'utilizzo di Didattica innovativa nella forma di Blended Learning & Flipped Classroom.

Argomento 3. Serie numeriche e serie di Fourier. Concetto di serie. Serie geometrica e serie armonica. Serie a termini positivi: criteri di convergenza. Serie a termini di segno alternato. Funzioni periodiche e polinomi trigonometrici. Coefficienti di Fourier. Convergenza puntuale e in media quadratica della serie di Fourier.

Argomento 4. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Dominio naturale e curve di livello. Limiti e continuità di funzioni di due variabili. Derivate parziali e direzionali. Differenziale e piano tangente. Formula del gradiente. Funzioni implicite. Derivate di ordine superiore, matrice hessiana. Formula di Taylor. Punti stazionari, estremi liberi, test della matrice hessiana. Estremi vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Argomento 5. Integrali multipli. Integrali doppi su domini semplici per funzioni continue, formule di riduzione, cambi di coordinate. Formule di Gauss-Green nel piano. Integrali tripli. Formule di riduzione: “per fili” e “per strati”. Coordinate polari nel piano, coordinate sferiche e cilindriche nello spazio. Applicazioni: volumi, baricentri e momenti d’inerzia.

Argomento 6. Campi vettoriali e integrali di linea. Campi vettoriali, campi conservativi, potenziale. Integrali di linea di seconda specie, lavoro di un campo di forze. Rotore e divergenza.

Argomento 7. Superfici e integrali di superficie. Superfici parametriche nello spazio. Piano tangente, vettore normale. Integrali di superficie. Flusso di un campo attraverso una superficie. Teoremi del rotore e della divergenza.