Analisi Matematica 1

Synthetic program:

1. Insiemi e operazioni insiemistiche. Numeri naturali, interi, razionali. Numeri reali. Operazioni sui numeri reali. Simboli di sommatoria e produttoria. Fattoriale, coefficienti binomiali e formula di Newton. Insiemi limitati o superiormente/inferiormente limitati, massimo/minimo, estremo superiore/inferiore. Valore assoluto, distanza fra due numeri reali, disuguaglianza triangolare, intorni, punti d'accumulazione. 2. Numeri complessi. Piano di Argand-Gauss. Forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale. Operazioni sui numeri complessi. 3. Funzioni: generalità, dominio, dominio naturale, codominio, immagine, grafico. Prolungamenti e restrizioni. Iniettività, suriettività, invertibilità. Estremi ed estremanti di una funzione. Funzioni limitate, monotone, pari, dispari, periodiche. Funzioni elementari e loro grafici. Trasformazione di luoghi geometrici nel piano e applicazione ai grafici di funzioni. Funzioni composte e inverse. Successioni. 4. Limiti di funzioni. Algebra dei limiti e forme di indecisione. Teoremi sui limiti. Caso particolare dei limiti di successioni. Limiti notevoli. Il numero e. Simboli di Landau, proprietà relative ed utilizzo nel calcolo dei limiti. Funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Punti di discontinuità. Prolungamento per continuità. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri e dei valori intermedi. Continuità della funzione composta e della funzione inversa. Asintoti. 5. Rapporto incrementale e derivata. Interpretazione geometrica e retta tangente. Funzioni derivabili, loro continuità. Derivata destra e sinistra, punti di non derivabilità. Calcolo delle derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivate di ordine superiore. Punti stazionari e teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Lagrange, de l'Hospital. Teoremi di monotonia. Formula di Taylor. Convessità. Studio di funzione. Primitive e integrali indefiniti. Metodi per la ricerca di una primitiva. 6. Integrale definito e relative proprietà. Integrabilità delle funzioni continue. Valor medio e teorema della media. Funzione integrale. Teoremi fondamentali del calcolo. Integrali generalizzati: definizioni e criteri per lo studio del carattere. 7. Curve regolari. Calcolo differenziale per le curve. Curve rettificabili e lunghezza di un arco di curva. Parametro arco o ascissa curvilinea. Integrali di linea (di prima specie) e applicazioni. 8. Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate. Alcune serie notevoli. Criteri per lo studio del carattere. Cenni alla determinazione approssimata della somma di serie convergenti.