Analisi Matematica 2 e Complementi di Algebra Lineare

Synthetic program:

Obiettivo del corso è far acquisire agli studenti le nozioni e le tecniche indispensabili alla costruzione, all'analisi e alla comprensione di modelli matematici per l'ingegneria. I contenuti del corso riguardano principalmente l'algebra lineare, il calcolo infinitesimale per funzioni di più variabili e a valori vettoriali. Vengono presentati semplici modelli matematici. Il docente si attende una comprensione non limitata alla enunciazione di definizioni e di risultati e alla risoluzione di esercizi standard, ma critica e in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti. Si attende inoltre una adeguata correttezza nei calcoli e una esposizione ben argomentata della teoria. Il programma verte sui seguenti argomenti. ALGEBRA LINEARE: Matrici e determinanti; lo spazio vettoriale Rn; algebra dei vettori, rette e piani; applicazioni lineari e forme quadratiche; autovalori e autovettori; sistemi lineari. Geometria analitica del piano e dello spazio: piani e rette e cenni a coniche e quadriche. ANALISI MATEMATICA: Funzioni di più variabili a valori reali. Limiti e continuità; derivate parziali e direzionali; gradiente, piano tangente, approssimazioni lineari e differenziabilità; conseguenze della differenziabilità; derivate di ordine superiore; formula di Taylor e approssimazioni quadratiche (matrice hessiana). Ottimizzazione per funzioni di più variabili; estremi liberi e vincolati. Calcolo integrale per funzioni di più variabili. Integrali doppi: definizione, significato e proprietà; calcolo degli integrali mediante formule di riduzione; cambiamento di variabili. Cenni agli integrali tripli, formule di riduzione: "per fili" e "per strati". Applicazioni: calcolo di volumi, baricentri, momenti di inerzia. Funzioni a valori vettoriali. Curve in forma parametrica in R e in R; superfici parametriche nello spazio; integrali di superficie. Campi vettoriali. Integrali di linea di I e II specie. Lavoro di un campo vettoriale. Campi conservativi e determinazione di un potenziale. Teorema di Green e teorema della divergenza. Equazioni differenziali ordinarie. Forma esponenziale dei numeri complessi. Equazioni lineari di secondo ordine a coefficienti costanti; oscillatore armonico e risonanza; sistemi di due equazioni lineari del primo ordine. Calcolo di un integrale particolare col metodo di somiglianza.