Real and functional analysis

Synthetic program:

Teoria degli insiemi: nozioni fondamentali, relazioni di equivalenza e relazioni d'ordine, numeri cardinali e ordinali, assioma della scelta. Spazi topologici. Spazi metrici. Funzioni continue e semi continue. Spazi di misura e funzioni misurabili. Misure positive e spazi misurabili. Misura di Lebesgue. Integrazione astratta. Confronto tra integrale di Lebesgue e integrale di Riemann. Convergenze. Derivata di una misura e teorema di Radon-Nikodym. Teoremi fondamentali del Calcolo. Misure prodotto e teorema di Fubini-Tonelli. Spazi  normati e spazi di Banach: spazi di funzioni integrabili, operatori lineari e teoremi fondamentali, spazi duali e teorema di Hahn-Banach, convergenze deboli, operatori compatti. Spazi di Hilbert: il prodotto scalare e le sue conseguenze, spazio duale e teorema di rappresentazione di Riesz, basi ortonormali, lo spazio L^2 e le serie di Fourier, il teorema spettrale per operatori compatti simmetrici, l'alternativa di Fredholm, operatori lineare non-limitati con dominio denso.