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Analisi e Geometria 1 Seconda prova in itinere 01 F ebbraio 2010 Compito A Docente: G. MOLA Politecnico di Milano Ingegneria Industriale 1. (a) Calcolare il seguente integrale de nito: 1∫ 0 (2x + 2) arctan x dx PRIMITIV A: (x2 + 2x + 1) arctan x ln(x2 + 1) x + c INTEGRALE: ln 2 +  1 (b) Stabilire se il seguente integrale generalizzato  e convergente: +∞∫ 0 ln(1 + x) sin2 x (1 + x)x7=2 dx Indicata con f la funzione integranda, per x ! 0+ risulta f (x)  1√x e per x ! +1 risulta jf (x)j = o( 1 x7=2 ), per cui L'INTEGRALE E CONVERGENTE. 2. Sia r la retta intersezione dei piani di equazioni x y + 2z 1 = 0 e 2 x + y + z = 0. (a) Determinare una rappresentazione parametrica della retta r. { x = 1 3 t y = 2 3 + t z = t (b) Scrivere l'equazione del piano ortogonale a r che passa per il punto P  (0; 1; 2). x + y + z 3 = 0 (c) Calcolare la distanza del punto P dalla retta r. PUNTO DI INTERSEZIONE RETTA-PIANO: H  ( 1; 2 3 ; 4 3 ) DISTANZA PUNTO-RETTA: P H = p 14 3 3. Sia l'arco di curva di equazioni parametriche { x = cos t y = sin t z = t con 0  t  2 : (a) Calcolare il versore T tangente a nel punto P della curva corrispondente al valore t = . T = p 2 2 j + p 2 2 k (b) Scrivere l'equazione del piano che passa per P parallelo a T e al vettore v = i + 2j + k. 3(x + 1) + y + (z ) = 0 (c) Calcolare ∫ p 2xyz ds. 2∫ 0 t sin 2t dt =  4. Risolvere il seguente problema di Cauchy:    y′ = y t2 t y(2) = 1 2 ∫ 1 y dy = ∫ 1 t2 t dt y = k t 1 t y(2) = 1 2 ( )k = 1 Analisi e Geometria 1 Seconda prova in itinere 01 F ebbraio 2010 Compito B Docente: G. MOLA Politecnico di Milano Ingegneria Industriale 1. (a) Calcolare il seguente integrale de nito: 1∫ 0 (2 2x) arctan x dx PRIMITIV A: ( x2 + 2x 1) arctan x ln(x2 + 1) + x + c INTEGRALE: 1 ln 2 (b) Stabilire se il seguente…