Materiale diviso per argomento di Analisi e geometria 1 per il corso di Common Courses presso Politecnico di Milano. Il documento tratta: SERIE NUMERICHE Lon 02/42/24 DEF SIA fa.) OWA SUCCESSIONE DI NUNERI REALI, LA CORRISPONDENTE SUCCESSIONE DI SOMME PARLIALI E’ LA SUCCESSIONE = u SuŻ ama astanti «= CHIANIANO SERIE DEGLI aa LA QUANTITA Zorisfo Św = SE IL LIMITE 3 FINITO DIREKO CHE LA SERIE Zon €" CONVERGENTE E…
Materiale diviso per argomento di Analisi e geometria 1 per il corso di Common Courses presso Politecnico di Milano. Il documento tratta: SERIE NUMERICHE Lon 02/42/24 DEF SIA fa.) OWA SUCCESSIONE DI NUNERI REALI, LA CORRISPONDENTE SUCCESSIONE DI SOMME PARLIALI E’ LA SUCCESSIONE = u SuŻ ama astanti «= CHIANIANO SERIE DEGLI aa LA QUANTITA Zorisfo Św = SE IL LIMITE 3 FINITO DIREKO CHE LA SERIE Zon €" CONVERGENTE E…
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SERIE NUMERICHE Lon 02/42/24 DEF SIA fa.) OWA SUCCESSIONE DI NUNERI REALI, LA CORRISPONDENTE SUCCESSIONE DI SOMME PARLIALI E’ LA SUCCESSIONE = u SuŻ ama astanti «= CHIANIANO SERIE DEGLI aa LA QUANTITA Zorisfo Św = SE IL LIMITE 3 FINITO DIREKO CHE LA SERIE Zon €" CONVERGENTE E CHIAMIAMO S= fey Sw os z @- SE IL UNITE €' too NRENO CHE LA SERIE Zam €' DIVERGENTE aa pa SE IL UMITE A DRENO CHE LA SERIE Za E' IRREGOLARE - o OSS TUTTO ANALOGO SE fon] „wo€.N, E IN TAL CASO STUNERO' San mamo OSS USEREMO LA TERMINOLOGIA “STUDIARE IL CARATTERE DI UNA SERIE” PER STABILIRE SE LA SERIE CONVERGE , MVERGE ,IRREG oe = OSS Zan E Son mem.€IN, HANNO LO STESSO CARATTERE mamo mama ESENPIO) (serie GEOMETRICA) » Sus En Atrani an zo MŚW = mani +.Ann""* 4 TR SE Inl<4 wą 19 Su-rSy 2Su(4-r) Art 2-4) +00 SE 34 X SEns-1 ESEMPIO. (serie TELESOPICHE) SE Om -6,,4-6,. PER UN'ALTRA Succ fon} te 6-4 bm o = MORA Suz Fam = (65-00) #(b1=b4) +... (by, -6,) bwa cundi Zon = Bow, buva-bo2 6-be (CONVERGENTE <=>b€(-00,400)) mio
PROP (CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZA) se Zan E' CONVERGENTE ALORA Lian 20 fm 400 OSS. NON VALE VICEVERSA ESEMPIO) (serie nrnonica) n Sune 472 ~ xt = 4.(444) 2 ZA): È (La 4o(m)] = 4 (N94) - ML42 La (144) > +00 N— 400 4 SERIE TELESCOPICA bm = M (m) => fm Su2ł00 cioe' Z È €' DIVERGENTE get La z + IN GENERALE Si hosTRA CHE E mr JSON SE 24 VA DV SE aed ARMONICHE GENERALIEZATE STUDIANO ORA DEI CRITERI DI CONVERGENZA, VALIDI PER SERIE A TERMINI NON NEGATIVI (an 20 DEF) NOTIAKO CHE IN QUESTO CASO La Sw A SEMPRE (FINITO O #00) POICHE' Sns43 Su TEOR. (ceITERIO DEL CONFRONTO PER. SERIE) SIANO fan} € fom} 2 SUCC NON NEGATIVE.SE Os amsbm ALLORA: e = “SE 26m E' CONV ALORA Zam E' CONV 2 Pi "SE Zam E'DIVERG ALLORA 2 bm €' DIVERG TEOR. (CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO PER SERIE) SIANO fan} E fom} 2 SUCC POSITIVE E SUPPONIAMO anvbm x . = ALLORA Zam E'CONV => Zbm € CONV DIM | siccome annbm SO CHE Imo te ie =<2 Vm mmo QUINDI tów sam <Żóm Vm2mo, DA CUI O< £26. eSancdZ6 YN zma FACENDO IL LINITE PER. N—= +00 DEDUCO LA TESI PER IL TEOR DEL CONFRONTO
wa ESEMPIO) STABILIRE IL CARATTERE DELLA SERIE 2 22-5 AL VARIARE PAIR «zim żm-S „2 NOTIAMO CHE An = wad mb | {eau SE Baz e PER CRITERIO DEL CONFRONTO AsINTOTICO 2 2-5 mstmł4 DIV SE ksz NOTARE. CHE am >O DEF TEOR. (cniTERIO DELLA RADICE PER SERIE) 4 SIA fom} UNA succ vor NEGATNA SE Thin (an): £ ALLORA: era RSE £>4 ALORA Zan DIVERGE met DSE l<4 NUORA Z am COWERGE aa DIM. Asvprowiano CHE 4<£<+00 (caso £ = 400 E'AVALOGO) 1 SO CWE JE>O te Imo te L-E>4 € (am)™2L-E mamo a = Am 2(4-E) Vuzmo => Zam 2 (4-6) > Tei STI QUINDI SD CHE E'UNA SERIE DIVERGENTE , POICHE' E'UND SERIE GEOMETRICA Con £-E>4 z Zam LOE' wej = PER. IL TEOR. DEL CONFRONTO ANCHE Zam E' DIVERGENTE E QUINDI ANCHE mine 4 DPOICHE' Lo (ont: Że[0,1) SO e JE>0 fe Mie<4 € (om)* <£+E Ym zma On <(2se)" Va Zane - PER IL TEOR DEL CONFRONTO € Usando CHE Z (L1£)"< +00 (conv) Poicne' E'un SERIE GEOMETRICA e e = O<Lte<4 DEDUCO CHE Zan<too (CONV) E QUINDI Zan<+00 wane ws TEOR. (ceiTerio DEL RAPPORTO PER SERIE) SIA fom} UNA succ positiva e te TL Sett. / miota: mateo Pi ASE l>4 ALORA Zam DIVERGE ei s DSE l<4 AUORA Zam CONVERGE na OSS PER | 2 TEOR. PRECEDENTI NULLA POSSIANO CONCLUDERE. se L-4
ESEMPIO) DE 2 a>o a" ja ~ (=) == 0 20 PER IL CRITERIO DELLA RADICE LA SERIE E' CONVERGENTE u Nato = 1 DZ” mat m” Ba ntayh COTE nt 00 (m4) (mad) m! strata PER IL CRITERIO DEL RAPPORTO LA SERIE E' CONVERGENTE SERIE NUMERICHE A SEGNO VARIABILE = = DEF DICIAMO CHE Zam. CONERGE ASSOLUTAMENTE SE CONVERGE (SEMPLICEMENTE) CA SERIE Z low! mea met PA TEOR. SE Son CONERGE ASSOLUTAMENTE ALLORA CONVERGE ANCHE SEMPLICEMENTE met EM ESEMPIO ZZ, E' UNA SERIE A SEGNO VARIABILE CS SIO so cue ein ¢ 4 le Zi €' conv ITER DEL conrronto 2 lele?! e! conv adm E ra ni z m On. bine TEOR. (caITERIO DI LEIBNIZ) GIO 5/41/24 UNA SERE 2(-4)" bm te: 7 bm SIA UNA SUCC. DECRESCENTE Dino zr €' CONVERGENTE A ESEMPIO zii €' CONVERGENTE bm. DECRESCENTE 4 o 3 ito NOTIAMO CHE NOW €' ASSOLUTAMENTE CONVERGENTE e A SA INFATTI 2((-4)'Zl=2 © Divercente med met SERIE ARNOWCA
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