Esame completo di Algebra Lineare e Geometria per il corso di Mathematical Engineering presso Politecnico di Milano. Materiale proveniente dall’archivio storico Studwiz e classificato per la consultazione online.
Esame completo di Algebra Lineare e Geometria per il corso di Mathematical Engineering presso Politecnico di Milano. Materiale proveniente dall’archivio storico Studwiz e classificato per la consultazione online.
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ESERCIZIO 1 Considera il seguente sistema lineare dipendente da un parametroaPR $ ’’’& ’’’% 2x`p1´aqy“1 p2´aqx`y“1´a x`ay“1 . (i)Discuti al variare diaPRla risolubilit`a del sistema e fornisci un’interpretazione geometrica. (ii)Per i valori diaPRper cui il sistema`e risolubile, trova le soluzioni. – 2 – ESERCIZIO 2 Considera lo spazio vettorialeR3con la sua base canonicate1,e2,e3ue l’applicazione lineare L:R3Ñ R3definita da Lpe1q“p1`kqe1, Lpe2q“2e1`e2`e3, Lpe3q“´e1`ke3. (i)Determina per quali valori dikPRil vettore ” 3´22 ıT `e autovettore diA. (ii)Stabilisci, al variare dikPR, se esiste una base diR3rispetto alla quale la matrice rappresentativa diLsia diagonale. (iii)Postok“2, determina se esiste una base ortonormale diR3formata da autovettori diL. Motiva adeguatamente la risposta. – 3 – – 4 – ESERCIZIO 3 Considera lo spazio euclideoR4dotato del prodotto scalare standard. Dati i vettori u“ » ————Ð 1 0 ´1 0 fi S , v“ » ————Ð 0 2 1 0 fi S , w“ » ————Ð 1 0 0 ´1 fi S , sianoUeVi seguenti sottospazi U“SpanpuqK e V“Spanpu,v,wq. (i)Determina un vettoretappartenente aVKtale chetu,v,w,tusia una base diR4,motivando ade- guatamente la risposta. (ii)Determina la dimensione e una base dei sottospaziUXVeU`V. (iii)Determina la matrice rappresentativa della proiezione ortogonalePsuUK. (iv)Determina una base del nucleo diId´P. – 5 – – 6 –
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