alg lin 15 05 04soluzioni

Pagina 1

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Prima Prova Intermedia Docente: I. Sabadini 4 Maggio 2015 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate 1. Sia A = [ 1 2 3 2 ] e si consideri l'applicazione lineare L : MR(2; 2) ! MR(2; 2) de nita da L(X) = AX XA. a) (3 punti) Scrivere la matrice rappresentativa di L rispetto alla base canonica di MR(2; 2); b) (5 punti) Determinare nucleo e immagine di L precisandone la dimensione e una base; c) (4 punti) Stabilire se la matrice B = [1 1 3 1 ] ammette controimmagini tramite L e, in caso affermativo determinare la bra sopra B. Soluzione. a) Sia X = [x y z t ] . Abbiamo L(X) = [ 1 2 3 2 ] [x y z t ] [x y z t ] [ 1 2 3 2 ] = [ 3y + 2z 2x 3y + 2t 3x + 3z + 3t 3y 2z ] : (1) Fissata la base canonica fE11; E12; E21; E22g di MR(2; 2), la matrice X si scrive come X = xE11+yE12+zE21+tE22 pertanto ha coordinate date dal vettore [ x; y; z; t ]T 2 R4. L'immagine di X tramite L ha coordinate [3y + 2z; 2x 3y + 2t; 3x + 3z + 3t; 3y 2z]T Si ha quindi che la matrice rappresentativa di L  e M = 2 664 0 3 2 0 2 3 0 2 3 0 3 3 0 3 2 0 3 775 2 MR(4; 4): Si noti che M ha per colonne le coordinate, rispetto alla base canonica, di L(E11); : : : ;L(E22). b) Riduciamo M a scala: M ! 2 664 2 3 0 2 0 3 2 0 3 0 3 3 0 3 2 0 3 775 ! 2 664 2 3 0 2 0 3 2 0 0 9 =2 3 0 0 3 2 0 3 775 ! 2 664 2 3 0 2 0 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 775 = U: Poich er(M) = 2 si ha che dim(Im( L)) = 2 e dim(ker( L)) = 2. Le prime due colonne della ridotta a scala U di M sono linearmente indipendenti, quindi le prime due colonne di M sono linearmente indipendenti e dunque…