Soluzioniappelloluglio2012

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Algebra lineare e Geometria Primo Appello Ingegneria Matematica 13 luglio 2012 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate Esercizio 1 (a) Sia B = {b1; b2; b3} una base di R3 e sia L : R3 → R3 l'applicazione lineare tale che L(b1) = 13 b1 +2b2 +4b3, L(b2) = 2 b1 +10b2 +2b3, L(b3) = 4 b1 +2b2 +13b3. Scrivere la matrice A che rappresenta L rispetto alla base B. Veri care che A  e simmetrica e che  = 9  e un autovalore di A. (b) Determinare una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A (suggeri- mento: A e A − 9I hanno gli stessi autovettori). (c) Una matrice di proiezione ortogonale  e una matrice simmetrica e idempotente (P2 = P). Determinare due matrici di proiezione ortogonale P1 e P2 e due numeri reali 1 e 2 tali che I = P1 + P2, A = 1P1 + 2P2 e P1P2 = O. (d) Scrivere una matrice de nita positiva S tale che S2 = A. Soluzione La matrice richiesta  e A =   13 2 4 2 10 2 4 2 13   che  e simmetrica perch eaij = aji. Sottraendo 9 I ad A otteniamo la matrice A − 9I =   4 2 4 2 1 2 4 2 4   che ha rango 1. Perci o  = 9  e un autovalore di A di molteplicit a geometrica 2, e quindi di molteplicit a algebrica almeno 2. Siccome la somma degli autovalori di A  e 36 = tr( A), il terzo autovalore di A  e3 = 36 −2×9 = 18, che ha molteplicit a algebrica 1. L'autospazio di A relativo all'autovalore doppio  = 9  e il piano H di equazione 2x + y + 2z = 0, l'autospazio relativo all'autovalore  = 18  e la retta perpendicolare ad H (perch eA  e simmetrica): siccome [2 ; 1; 2]T  e ortogonale ad H, si tratta della la retta…