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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e Geometria 2 Seconda prova in itinere Docente: 1 luglio 2013 Cognome: Nome: Matricola: • Ogni risposta dev'essere giusti cata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non  e consentito l'uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Sia data la funzione f (x, y) = y 3√x. (a) Stabilire se esistono le derivate parziali di f nell’origine, e in caso affermativo calcolarle. (b) Stabilire se f ` e differenziabile nell’origine. (c) Stabilire se esistono i piani tangenti al grafico di f nei punti (0 , 0, f(0, 0)) e (1 , 1, f(1, 1)) . In caso affermativo scriverne le equazioni. Soluzione. (a) Risulta f (0, y) = 0 ∀y ∈ R . Quindi ∂f ∂y (0, 0) = lim y→0 f (0, y) − f (0, 0) y = 0. Analogamente, risulta f (x, 0) = 0 ∀x ∈ R e quindi ∂f ∂x (0, 0) = 0 . Figura 1: Grafico della superficie z = y 3√x (b) f ` e differenziabile nell’origine. Infatti, passando a coordinate polari h = ρ cos θ, k = ρ sin θ , f (h, k) − f (0, 0) − ∂f ∂x (0, 0)h − ∂f ∂y (0, 0)k √ h2 + k2 = k 3√ h√ h2 + k2 = ρ sin θ 3√ρ cos θ ρ = ρ1/3 sin θ 3√ cos θ La quantit` a sin θ 3√ cos θ si mantiene limitata per θ ∈ [0, 2π] Quindi si vede che, quando ρ → 0 , lim (h,k)→(0,0) f (h, k) − f (0, 0) − ∂f ∂x (0, 0)h − ∂f ∂y (0, 0)k √ h2 + k2 = 0 (c) Il piano tangente a f in (0 , 0, f(0, 0)) ` e il piano z = 0 . Il piano tangente ad f in (1 , 1, f(1, 1)) ` e il piano z = x/3 + y − 1/3 . 2. Sia assegnata la funzione f (x, y) = xy(4 − x2 − y2) , ( x, y) ∈ R2 . (a) Determinare i punti stazionari di f . (b) Disegnare il settore circolare A chiuso e limitato, contenuto nel primo quadrante, limitato dall’asse x , dalla retta y = √ 3 x e dalla circonferenza…