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Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria Secondo appello 1 luglio 2015 DOMANDA 1 Si consideri il seguente problema: 8 < : u′′(x) + u′(x) = 1 ; 0 < x < 1 u(0) = 0 u(1) = 1 : 1. (T) Si ricavi la formulazione debole del problema giustificando i passaggi e motivando la scelta degli spazi funzionali. 2. (T) Si dimostri la coercivit` a della forma bilineare. 3. (T) Si enunci il lemma di C´ ea. 4. (T) Si disegnino le funzioni di base dello spazio di elementi finiti lineari definiti su una partizione unifome dell’intervallo [0 ; 1] di passo h = 1 =3, che approssimano lo spazio funzionale scelto per la formulazione debole. 5. (E) Si scriva l’approssimazione di Galerkin del problema, Au = f (ossia si scrivano esplicitamente la matrice A e il vettore f ) ottenuta utilizzando lo spazio degli elementi finiti lineari descritto al punto precedente. DOMANDA 2 Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari Ax = b con A = 0 BB@ 4 1 0 0 1 4 1 0 0 1 4 1 0 0 1 2 1 CCA e b = [ 4; 2; 4; 1]T . 1. (T) Si verifichi una condizione sufficiente per la fattorizzazione LU (senza pivoting). 2. (M) Si calcoli la fattorizzazione LU mediante opportuno comando Matlab. 3. (M) Si implementino gli algoritmi di sostituzione in avanti e indietro. 4. (M) Si risolva il sistema. DOMANDA 3 Si consideri il problema di Cauchy: 8 < : y′′(t) y′(t) = et; t > 0 y(0) = 0 y′(0) = 1 : 1. (E) Sia Y (s) la trasformata di Laplace della soluzione. Si calcoli la trasformata di Laplace dell’equazione. 2. (E) Si calcoli Y (s) risolvendo l’equazione ottenuta al punto 1. 3. (E) Utilizzando il risultato al punto 2, si determini, motivando ogni passaggio, la soluzione y(t) per t  0. 4. (T) Si ricavi il metodo leap-frog in avanti per la soluzione di un problema di Cauchy per un’equazione del secondo ordine. 5. (M) Si risolva il…