01 07 19consol

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Seconda prova in itinere — Esercizi Versione 1 Esercizio 1 — Data la funzione f (x, y) = (x + y − 2)y 2, a) determinare il segno di f nel suo dominio; Soluzione: f si annulla lungo le due rette verdi, è negativa nella zona azzurra e positiva nella zona rosa: x y x + y = 2 2 b) determinare gli estremi liberi di f ; Soluzione: f ∈ C ∞(R2), dunque gli unici candidati massimi e minimi sono i punti stazionari, annullando il gradiente si trova { fx = y 2 = 0 f y = y(2x + 3y − 4) = 0 pertanto sono punti stazionari tutti e soli i punti dell’assex, ove peraltro f = 0; l’hessia- no è nullo, dunque consideriamo il segno di f , precedentemente studiato: i punti (x,0) con x < 2 sono massimi relativi, quelli con x > 2 sono minimi relativi, il punto (2,0) è punto di sella. c) determinare massimo e minimo assoluti di f sul triangolo T = {x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2}. Soluzione: I vertici di T sono l’origine O ≡ (0, 0), A ≡ (2, 0) e B ≡ (0, 2). Osserviamo che per il teorema di Weierstrass la funzionef ha sull’insieme chiuso e limitato T massimo e minimo assoluti, che f ≤ 0 su T e che f si annulla in tutti i punti dei lati AB e O A, che pertanto sono punti di massimo assoluto. Non vi sono punti stazionari all’interno, dunque studiamo il comportamento di f lungo il lato OB : si ha f (x, y) ⏐⏐⏐ OB = f (0, y) = y 3 − 2y 2, 0 ≤ y ≤ 2, la funzione g (y) = y 3 −2y 2 ha un minimo in y = 4 3 , dunque P ≡ (0, 4 3 ) è punto di minimo assoluto per f su T , e il minimo assoluto di f su T è f (P) = − 32 27 . 1 Esercizio 2 — Calcolare il flusso Φ, nel verso delle z crescenti, del campo vettoriale F(x, y, z) = yi + xj attraverso la superficie Σ = { (x, y, z) ∈ R3 : z = ln(x2 + y 2), (x, y) ∈ D } , ove D è il dominio indicato in figura. x y x2 + 4y 2 = 4 x2 + y 2 = 1 1 2 D Soluzione: Il flusso è dato da Φ = Ï…