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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T T otale Analisi e Geometria 1 COMPITO A Docenti: P . Antonietti, F. Cipriani, F. Colombo, F. Lastaria, G. Mola, E. Munarini, P .T erenzi, C. Visigalli Ingegneria Industriale Prova del 1/9/2009 Cognome Nome Matricola Punteggi: Es.1=7 punti, Es.2=7 punti, Es.3=4 punti, Es.4=12 punti. Istruzioni: Nello spazio sottostante gli esercizi devono essere riportati sia i risultati che i calcoli . Tempo a disposizione: due ore. Punteggio minimo per superare la prova: 18 punti. 1. Verificare la convergenza del seguente integrale improprio e calcolarne il valore ∫ +∞ 2 1 x√x − 2 dx. Soluzione Posto f (x) = 1 x√x−2 , si noti che f (x) > 0 sull’intervallo di intgrazione (2 , +∞). Di con- seguenza ` e possibile utilizzare il criterio del confronto asitotico. Si vede facilmente che f (x) ∼ 2(x − 2)−1/2 per x → 2+ e f (x) ∼ x−3/2 per x → +∞. Poich` e, in virt` u dei criteri generali di convergenza, le funzioni g(x) = 2( x − 2)−1/2 e x−3/2 sono integrabili in senso generalizzato (sugli intervalli (2 , x0) e ( x0, +∞) rispettivamente, ove x0 ` e un valore arbitrario strettamente compreso tra 2 e + ∞), ne segue che f ` e integrabile in senso generalizzato su (2 , +∞). Per calcolare il valore esatto dell’integrale, procediamo al calcolo di una primitiva di f . Operando la sostituzione t = √x − 2, con semplici conti si vede che ∫ 1 x√x − 2 dx = 2 ∫ 1 t2 + 2 dt = √ 2 ∫ 1/ √ 2 ( t/ √ 2 )2 + 1 dt = = √ 2 arctan ( t/ √ 2 ) + cost = √ 2 arctan √ x 2 − 1 + cost. Quindi ∫ +∞ 2 1 x√x − 2 dx = lim M →+∞ √ 2 arctan √ M 2 − 1 − lim m→2+ √ 2 arctan √ m 2 − 1 = π √ 2 2 . 1 2. Sia data la seguente equazione differenziale y′(t) = 2 t [ y(x)2 + 1 ] . i) Esibire una formula di rappresentazione per la generica soluzione; ii) calcolare la soluzione del problema di Cauchy avente come dato…