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Politecnico di Milano Ingegneria Industriale e dell’Informazione Analisi Matematica II Secondo appello – 1◦ Settembre 2017 Cognome: Matricola: Nome: Es.1: 4 punti Es.2: 6 punti Es.3: 9 punti Es.4: 14 punti T otale 1. Se converge, determinare il valore della serie ∑ n≥1 2n + 3n 4n+1 . 2. Determinare la soluzione del problema di Cauchy    y′′− 4y′ + 5y = 0 y′(π/4) =− √ 2 eπ/2 y(π/4) = √ 2 eπ/2. 3. Sia f la funzione definita da f(x,y ) = ln(1 +x2 +y2). (a) Determinare il dominio e il segno di f . (b) Determinare i punti di massimo e minimo liberi di f . (c) Determinare i punti di massimo e minimo assoluti di f nella regione Ω ={ (x,y )∈ R2 : (x− 1)2 + (y− 1)2≤ 8}. 4. (a) Sia Σ la superficie definita dalle condizioni x2 +y2 = r2 , y≥ 0 , 0 ≤ z≤ h , dove r,h∈ R , r,h> 0 . i. Descrivere la superficie Σ e mostrare che ` e orientabile. ii. Determinare il bordo γ di Σ e disegnarlo. iii. Determinare l’orientazione di γ coerente con l’orientazione di Σ indotta dai versori normali la cui proiezione ortogonale sull’asse y ` e diretta come e2 . (b) Stabilire se i campi F = (yz + ex,xz + ey,xy + ez) e G = (z2,x 2,y 2) sono conservativi in R3 . (c) Determinare una funzione potenziale degli eventuali campi conservati trovati nel punto precedente. (d) Calcolare il lavoro del campo F lungo la curva regolare Γ :    x = 3 sinθ + cosθ y = 2 sinθ + cosθ z = 4 sinθ− cosθ θ∈ [0,π ]. (e) Calcolare il lavoro del campo H = 3F + G lungo la curva γ =∂Σ , orientata come nel punto (a). (f) Calcolare il flusso del campo G attraverso la sfera S di centro O≡ (0, 0, 0) e raggio r = 1 , orientata verso l’esterno. Istruzioni. Ogni risposta deve essere giustificata. Il testo del compito deve essere consegnato insieme alla bella, mentre i fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non…