01 09 2020 E T

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Algebra Lineare e Geometria – 1 Settembre 2020 Esercizio 1. Nello spazio euclideo R3, si considerino la retta r definita dalle equazioni car- tesiane ( x + y = 1 2y − z = 0 e il piano p di equazione hx + y + 2z = 1, h ∈ R. 1. Stabilire al variare di h ∈ R l’esistenza di intersezioni trar e p, motivando adeguatamente la risposta. 2. Posto h = 5, calcolare la distanza tra il punto P = (2, −1, −2) della retta r e il piano p. 3. Posto h = 5, calcolare la distanza tra la retta r e il piano p, motivando adeguatamente la risposta. Esercizio 2. Nello spazio vettoriale R4, si considerino i sottospazi vettoriali U = Span     2 1 1 0   ,   1 1 0 1   ,   0 1 −1 2     . e V =      x y z w   ∈ R4    x − z = 0 x + 2y + z + 2w = 0 x + y + w = 0    . 1. Determinare una base di U e una base di V, illustrando sinteticamente il procedimento seguito. 2. Stabilire se la somma U + V `e diretta, motivando adeguatamente la risposta . 3. Descrivere un’applicazione lineare L : R4 → R4 tale che • dim ker (L) = 2, • U ∩ V ⊂ ker(L) e • im (L) = V. Esercizio 3. Si consideri la matrice A =   1 0 1 0 0 a 1 0 k − 1   , a, k ∈ R. 1 1. Determinare per quali valori di a, k ∈ R la matrice A ammette 0 come autovalore di molteplicit`a algebrica 2, motivando adeguatamente la risposta . 2. Posto k = 2, stabilire per quali valori di a ∈ R, la matrice A `e diagonalizzabile. 3. Posto a = 0, stabilire se esistono valori di k ∈ R per cui A `e simile a B =   0 2 3 0 0 0 0 4 2   , motivando adeguatamente la risposta . 2