01 09 2022 E T

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ESERCIZIO 1 Considera la matrice A“ » —Ð 12 24 ´1´2 fi fl. (i)Calcola gli autovalori diAATe determina, se esiste, una base diR3formata da autovettori di AAT. (ii)Dato il vettoreb“ ” 130 ıT , risolvi ai minimi quadrati il sistemaAx“b. (iii)Determina la proiezione ortogonale dib“ ” 130 ıT su colpAq. (iv)Data una matriceAPMRpm,nqconm°n, spiega perch´e la forma quadratica associata aAAT non`e definita positiva. – 2 – – 3 – ESERCIZIO 2 Nello spazio vettorialeV“Rrts§3dei polinomi del tipopptq“a0`a1t`a2t2`a3t3, considera i sottoinsiemi U“ pptqPV ˇˇp1p0q“0,p2p1q“0(, W“ pptqPV ˇˇa0´a1`a3“0(, (dovep1,p2indicano rispettivamente la derivata prima e seconda dip). (i)V erifica cheUeWsono sottospazi vettoriali diV. Inoltre, calcola la dimensione e una base diUe diW. (ii)Determina la dimensione e una base diU`We diUXW. (iii)V erifica cheB“t1´t2,t´2t3,1`t,2t`t3u`e una base diV. (iv)Scrivi la matrice rappresentativa rispetto alla baseBdell’applicazione lineareL:VÑ Vdefinita da L`pptq˘“`tpptq˘1. – 4 – – 5 – ESERCIZIO 3 Nello spazio euclideoR3, considera il sistema lineare formato dalle seguenti equazioni $ ’’’& ’’’% x`ky`z´1“0 x`y`kz“0 2y`kz´k“0 , kPR. (i)Discuti e interpreta geometricamente la risolubilit`a del sistema lineare al variare dikPR. (ii)Descrivi le soluzioni del sistema lineare perk“0. (iii)Stabilisci per quali valori dikPResiste almeno una retta parallela a tutti e tre i piani corrispon- denti alle tre equazioni del sistema. – 6 –