01 09 XXconsol

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2uRisolvere il seguente problema di Cauchy:    y′′ry= sinxr cosx yoyp = 2 y′oyp = z Scrivere la formula di MactLaurin arrestata al II ordine della soluzioneu L’integrale generale ` ey=c1cosxrc2sinxrxo−z 2cosxrz 2sinxp; la soluzione del problema di Cauchy ` e:y= 2 cosxr3 2sinxrxo−z 2cosxrz 2sinxpu Si ha cheyoyp = 2,y′oyp = z,y′′oyp =−yoyp r sin y r cos y =−zs lo sviluppo allora ` e:yoxp = 2 rx− z 2x2roox2pu 3uCalcolare il seguente integrale doppio: ∫∫ D xydxdys doveD={ox, yp∈R2:x>y, y > y,y≤z,y≤logz x}u D`extsemplice:D={ox, yp : y≤y≤z,y≤x≤e−y}s quindi ∫∫ D xydxdy= ∫1 0 (∫e−y 0 xydx ) dy=z 2 ∫1 0 ye−2ydy=z 2 (z 4−3 4 z e2 ) 4uSia A=   3y −7 k34 y y 2  ,k ∈R. ap Dopo aver calcolato gli autovalori di A,stabilire per quali valori dikla matrice ` e diagonalizzabileu bp Per i valori dikper cuiA` e diagonalizzabiles determinare una base diR3formata da autovettori diAe una matrice diagonale simile aA. ap Gli autovali sonoλ= 3s avente molteplicit` a algebrica 2s eλ= 2 con molteplicit` a zu L’autovaloreλ= 2 ` e semplice e quindi regolareu L’autovalore λ= 3 ` e regolare se l’autospazio relativo ha dimensione 2u Calcoliamo gli autovettori relativi a λ=3 risolvendo il sistema:A−3I=y,cio` e−7z=y, kxr4z=y,−z= yu Sek= y il sistema ha per soluzioni i vettori ox, y,yp che formano uno spazio di dimensione 2s se invecek̸= y il sistema ha per soluzione i vettori oy , y,yp che formano uno spazio di dimensione zu DunqueA` e diagonalizzabile se e solo sek= yu bp Una base di autovettori relativi all’autovalore λ= 3 ` e costituita ad esempio dai vettori oz,y,yp e oy,z,ypu Un autovettore relativo all’autovaloreλ= 2 ` e ad esmpio il vettore o7,−4,zpu I tre vettori cocituiscono una base di R3u Una matrice diagonale simile adA`e D=   3yy y3y yy2  .