02 05 16consol

Pagina 1

Analisi e Geometria 2 2 maggio 2016 1. Sia F : R3→ R3 l’applicazione lineare che sui vettori e1 , e2 , e3 della base canonica di R3 ` e definita da F (e1) = e1 + e2 + 2e3 , F (e2) =−2e3 , F (e3) = e3 . a) Scrivere la matrice A che rappresenta F rispetto alla base canonica (fissata sia nel domino sia nel codominio). b) Determinare una base per il nucleo di F e una base per l’immagine di F . Studiare l’iniettivit` a, la suriettivit` a e l’invertibilit` a diF . Calcolare la dimensione del sottospazio di R3 che ` e l’intersezione tra il nucleo diF e l’immagine di F . c) Stabilire se la matrice A ` e diagonalizzabile. In caso affermativo, determinare una matrice diagonale D e una matrice invertibile H tali che A =HDH−1 . Svolgimento: a) Incolonnando le coordinate delle immagini dei vettori della base abbiamo A =   1 0 0 1 0 0 2 −2 1  . b) • Poich´ e la matriceA ` e costruita rispetto la base canonica, il sottospazio Im F ` e generato dalle colonne di A e, osservato che il rango di A risulta rk A = 2 , una base di Im F ` e     1 1 2  ,   0 0 1    . Inoltre il nucleo ker F , che per il Teorema di “nullit` a + rango” ha dimensione 1 , risulta essere lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo Ax = 0 ; quindi una base per ker F ` e formata dal vettore   0 1 2  . • F ` e non suriettiva, non iniettiva e non invertibile. Infatti, da quanto scritto sopra . . . • I vettori   1 1 2   ,   0 0 1   ,   0 1 2   sono linearmente indipendenti perch´ e colonne di una matrice di rango 3 : det   1 0 0 1 0 1 2 1 2  ̸= 0. Questi vettori formano quindi una base del sottospazio vettoriale kerF +ImF e di conseguenza dim(kerF + ImF ) = 3 . Per la formula di Grassmann risulta dim(kerF∩ ImF ) = dim kerF + dim ImF− dim (kerF + ImF ) = 1 + 2− 3 = 0. c)…