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Analisi e Geometria 2 Docente: 2 luglio 2015 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. 1. Sia data la funzione f(x,y ) =    x3 + 2|x|y2 x2 +y2 (x,y )̸= (0, 0) 0 ( x,y ) = (0, 0). a) Si dica se f ` e continua nell’origine. b) Si calcolino, se esistono, le derivate parziali di f nell’origine. c) Si calcoli, se esiste, la derivata direzionale di f nell’origine nella direzione della bisettrice del primo quadrante e nel verso delle x crescenti. d) Si dica se f ` e differenziabile nell’origine. soluzione: a) passando per esempio in coordinate polari si ha lim (x,y)→(0,0) x3 + 2|x|y2 x2 +y2 = lim ρ→0 ρ3(cos3θ + 2| cosθ| sin2θ) ρ2 = lim ρ→0 ρ(cos3θ + 2| cosθ| sin2θ) = 0 perch´ e la quantit` a tra parentesi ` e una funzione limitata e quindi il prodotto di una funzione limitata per una funzione infinitesima ` e infinitesima. b) Usando la definizione si ottiene ∂f ∂x (0, 0) = lim h→0 f(h, 0)−f(0, 0) h = lim h→0 h3 h2− 0 h = 1 ∂f ∂y (0, 0) = lim h→0 f(0,h )−f(0, 0) h = lim h→0 0− 0 h = 0 c) Il versore richiesto ` e v = ( 1√ 2, 1√ 2 ) quindi usando la definizione si ha Dvf(0, 0) = lim t→0 f ( t√ 2, t√ 2 ) −f(0, 0) t = lim t→0   t3 2 √ 2 + 2|t| t2 2 √ 2 t2   1 t = lim t→0 1 2 √ 2 + 1√ 2 |t| t e questo limite non esiste (vale 3 2 √ 2 se t→ 0+ e vale − 1 2 √ 2 se t→ 0− ). Quindi la derivata direzionale di f in (0, 0) nella direzione del versore v non esiste. d) Siccome al punto c) abbiamo dimostrato che la derivata direzionale di f nell’origine nella direzione di v non esiste, allora f non pu` o…