02 Problema di Cauchy

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AG2-LEZIONE 2- 22.2.2023 Interessantestudiareequazione ICondizioniaggiuntivecercano pb.BENPOSTICiepercui · soluzioneI· soluzioneéunica · stabile(dip.Jutimiadei parametri)· PROBLEMADI CAUCHYpereq.diarche Cerchiamosoluzioney= y(t)t2"(I)- créderivabilem-voltecan continuitain I)chesoddisfi equazioneSoddisfattaalmeno y(y)= f(t,y(t),- - - ,y(a- x(+)C↓vicinoa to y(t)=20 +Ib(t- 0,t+ 8)y(t)= xs I"cmultr)= Nma Lo,----, n-stR https://www.youmath.it/lezioni/analisi-due/equazioni-differenziali/618-teorema-di-esistenza-e-unicita.html Pb -di CAUCHYébewposto? o Cioccupianoalmomentodiesistenza e uniciteperequazioniI ' ordine . EsempiolpennelleaiPeano) ij=.y? 91 ostos YLJeOésoluz . o delpb. ma yidyf ffattexyBetts Cioéyültxoimparicolare Y 2(t)=E3 ésoluzionecelproblemainternetvedi Oss . Iuquestoesempiofltig )-3y5 e continua -manon derivabileriop . a y .elto Oss .2 sepb .dilauchyéylos -ato perceaunica soluzione ylt )-(t+CP ( almenopertvicino ^ a )t =o ff -3 5 écontimuama now derivabile inI zo TEOREMA (Esistenzaeunicitàlocale) Ej(t)= f(t,y) +6I(PC)y(+0)= y, Siaf:D-XR, DERR2aperto-Se:i)IecontinuainDrispettoa teady- ii)fdiclasse21 inD,rispettoady-alloraperf(to,y0(GDI Ia= [tr- 2,tr+ d]in cuièdefsolzone y= 4(t)delproblemadiCanchy(PC) unice nelsenso che ognialtra -olizionecon 1nell'intersezione degliintervalli- sevalesoloisc'éexstenzama non necessariamenteunicità- PROBLEMADICAUCHYPEREQUAZIONEI ORDINELINEARI (PC)(y = a(t)y+ f(t) y(t)= yo - Als·in yst=ett(c+ (f(x)e as]possiamo scegliereAlt)+.c. Alto)=0. Allora A(t) - Als y(t)=2 [y.+(esedSI Verifichiamoipotesitor. I! . Chiediamoalteb() continuei-ICIR· condizioniin ysempresoddisfatte-