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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica 2 Febbraio 2017 c⃝I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1: Sia X1; : : : ; Xn un campione casuale da una distribuzione con legge: f (x; ) = 4 (x 1)3 ( 1)4 I(1;)(x); dove   e un parametro positivo incognito,  > 1. (a) Determinare una statisitca T statistica sufficiente per . (b) Utilizzando la de nizione di completezza stabilire se T  e completa per. (c) Trovare l'UMVUE per . (d) Costruire una quantit a pivotQ per . (e) Costruire l'intervallo di con denza di livello 1 basato su Q di lunghezza minima. 1 Esercizio 2: Sia X1; : : : ; Xn un campione casuale da una distribuzione con legge: f (x; ) = 1 2 xe x=I[0;+1)(x) dove   e un parametro positivo incognito,  > 0. (a) Costruire il LRT di livello per H0:   0 vs H1:  >  0. (b) Dimostrare che T = ∑n i=1 Xi  e una statistica sufficiente minimale e completa per . (c) Dimostrare che T ha MLR (rapporto di likelihood monotono). (d) Costruire il test UMP di livello per H0:   0 vs H1:  >  0. (e) Confrontare i test costruiti al punto (a) e al punto (d). 2 Esercizio 3 Il dataset \USA.txt" contiene anche i valori delle seguenti variabili, espresse nelle opportune unit a di misura, per i 50 Stati Americani: LifeExp (aspettativa di vita di ciascuno stato) e Position (variabile categorica, che assegna ogni stato ad un'area geogra ca: W - west, MW - MidWest, NE - NorthEast, S - South). Si vuole effettuare un'indagine per comprendere se l'area geogra ca in uisce sull'aspettativa di vita. Si eseguano le seguenti analisi, a partire dal dataset…