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Analisi e Geometria 1 Primo appello – 3 Febbraio 2020 Compito A Docente: LANZARONE Cognome: Nome: Matricola: Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi devono essere svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Domanda di teoria 1 (5 punti) Enunciare e dimostrare il test di monotonia. Fornire un esempio di funzione strettamente crescente e derivabile con derivata prima nulla in almeno un punto. 1 Domanda di teoria 2 (3 punti) Enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Dare le definizioni di parallelismo e di ortogonalit` a tra due vettori usando il prodotto scalare. 2 Analisi e Geometria 1 Primo appello – 3 Febbraio 2020 Compito A Docente: LANZARONE Cognome: Nome: Matricola: Esercizio 1 (6 punti) Trovare l’integrale generale dell’equazione differenziale ordinaria y′ = x2 3 e2x−3y. Determinare la soluzione dell’equazione che soddisfa la condizione y(1) = 2 3. 3 Esercizio 2 (6 punti) Si consideri la seguente equazione nel campo complesso (z + 20− 10i)4 = (5 √ 3 + 5i)8. Scrivere le soluzioni dell’equazione e rappresentarle nel piano di Gauss. Detto A l’insieme di tali soluzioni, rappresentare nel piano di Gauss l’insieme B cos` ı definito B ={z = 1 +iω : ω∈A}. 4 Esercizio 3 (4 punti) Determinare la retta r perpendicolare alle rette di equazioni    x = 2 +t y = 2t z = 1−t e    x = 4t y = 2 +t z = 3 + 5t e passante per il punto A = (1, 2, 3). Determinare quindi la distanza tra la retta r trovata e il punto B = (0, 0, 4). 5