Study material for Analisi Matematica II, shared by the Studwiz community and reviewed by moderators.
Study material for Analisi Matematica II, shared by the Studwiz community and reviewed by moderators.
Import quality: text was extracted directly from the original document.
Representative passages recognised in different parts of the material. The full extracted text remains available to search, while this compact preview makes the page easier to read.
ANALISI MA TEMA TICA II – Seconda prova in itinere 3 luglio 2013 Cognome: Nome: Matricola: Firma: Proff. Gazzola, Marchini, BoellaIng. CHI-EL T-MA T I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. • Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 3 punti. Domanda di teoria. Enunciare il teorema del rotore (o di Stokes). Soluzione. Cfr. libro di testo. Esercizio 1. Siano f (x; y) = 1 (4 + x2 + y2)3=2 ; D = {(x; y) ∈ R2; x2 + y2 < 1; x > 0} : Calcolare ∫ ∫ D f (x; y) dx dy : Soluzione. Passando in coordinate polari otteniamo ∫ ∫ D f (x; y) dx dy = ∫ =2 =2 d ∫ 1 0 (4 + 2)3=2 d = ( 1 2 − 1√ 5 ) : Esercizio 2. Si consideri il campo F(x; y; z) = (2 xy; x2 + 2yz; y 2): Determinare se F ` e conservativo. In caso affermativo calcolarne un potenziale. Calcolare il lavoro di F lungo la curva di equazione parametrica r(t) = (cos t; sin t; t); t ∈ [0; 2]: Soluzione. Il campo F ` e irrotazionale su R3, essendo rot F = (2y − 2y)i − (0 − 0)j + (2x − 2x)k; quindi, poich´ eR3 ` e semplicemente connesso, F ` e conservativo. Una funzione U = U (x; y; z) ` e un potenziale per F se e solo se valgono le seguenti relazioni Ux = 2xy; U y = x2 + 2yz; U z = y2: (1) Integrando la prima componente di F rispetto ad x troviamo U (x; y; z) = ∫ 2xy dx = x2y + c(y; z); per una funzione c(y; z) dipendente solo da y e z. Derivando rispetto ad y quanto ottenuto troviamo Uy = x2 + cy: Imponendo la…
First page of the document.
