Study material for Metodi Analitici e Numerici Per L'ingegneria, shared by the Studwiz community and reviewed by moderators.
Study material for Metodi Analitici e Numerici Per L'ingegneria, shared by the Studwiz community and reviewed by moderators.
Import quality: the document is a scan and the text was recognised using OCR.
Representative passages recognised in different parts of the material. The full extracted text remains available to search, while this compact preview makes the page easier to read.
Goodnotes [ Parrte A [ Es. 1 Es. 2 | Totale Metodi Analitici e Numerici | Docente: Politecnico di Milano 3 Settembre 2026 Ingegneria Energetica Cognome: Nome: Matricola: Parte A. A.1 Risolvere il seguente problema di Cauchy-Dirichlet con dati al bordo non omogenei Ut — Ure = 0 O<x<1,t>0 u(0,t)=1,u(1,t)=-1 t>0 u (x,0) = —2x +1 +sinrz 0<xr<1 NB. Non è necessario svolgere completamente la separazione di variabili. Risposta: Bisogna innanzitutto rendere il problema di Dirichlet omogeneo. Per fare questo poniamo U(a,t) = u(x,t)+z(2,t) oS x 40 x 2 5 dove z(z,t) = 2x — 1 La U(x,t) soddisfa il problema di Cauchy-Dirichlet W — Ure = 0 0O<ax<1,t>0 u(0,t)=u(1,t)=0 t>0 u(a,0) = sinma 0<r<1 Li La soluzione è U(x,t) = et sin rx e quindi x(a,t) =e" sinme — 27 +1 A.2 Risolvere la seguente equazione mediante la trasformata di Laplace (y(t) = 0 per t < 0): e't*y' (t)=sinht t>0 y(0+)=1 Risposta. Si ha, ponendo £ [y] (s) = Y (s), £[e”*] (= Lly'l(s)=s¥ (s)-1, Clsinhd (s) Applicando la trasformata di Laplace ad entrambi i membri dell’equazione, si ha: da cui e infine
Goodnotes B.1 Risolvere il problema di Cauchy (GRE reRt>0 u(z,0) = g(x reR dove 1 3 a<-2 3% -2<2<0 0 x>0. In Particolare: determinare le caratteristiche e disegnarne la configurazione. Risposta. Qui q(u) = u?/2, q' (u) = u. L'equazione della caratteristica uscente da xo tz = g(xo)t + zo; in particolare: dl T=—-t+ zo 19 < -2 © = got + to —2<m<0 c =qco xo > 0. NAM Come si vede in figura, per 0 < t < 2, le caratteristiche dividono la striscia di piano in 4 regioni: x 1. La semistriscia z < al = 1 2. Il settore delimitato dalle caratteristiche di equazione x = OL -2e z =t —2, in cui è presente un'onda di rarefazione. 3. Il triangolo T, di vertici (—2,0) , (0,2) e (0,0), delimitato dalle caratteris- tiche di equazione z = t — 2 e z = 0, in cui è presente un’onda di compressione. 4 La semistriscia x > 0. Per t > 2, si presenta un’onda d’urto di equazione x = s(t), uscente dal punto (0, 2). Il semipiano t > 2 è diviso nelle 3 regioni 1 z<-=t-2 zł —2<x< s(t) (onda di rarefazione) e x > s(t).
Goodnotes Calcolare l’espressione analitica di u nelle varie regioni del piano. Calcoliamo prima l’espressione analitica dell’onda di rarefazione: + 2 2 wea) => (A) ==. Nel triangolo T, si ha u = g(a-q'(u)t) = È Hoa law du u = ze ut) = zz + zuł og u = 4-2 Calcoliamo ora l’equazione della linea d'urto. Dalla relazione di Rankine-Hugoniot, si ha, essendo un ‘equazione di Burgers: =e. È u; (s(t),t) _ CE 2 s (2) =0. Si trova (essendo s (t) + 2 > 0) con condizione inizia On = 7 not) +2) =Invi+e s(t)+2 = evi ir 50 = VRE 2. l’espressione analitica di u nelle varie regioni del piano è, pertanto: 0<t<2 1 zo—-st-2 WE u(a,t) = -gł-240<t-2 t-2<2<0 ©>0 1 1 73 qsti 2 1 (z,t) = = -5ł-240<vB-2 0 a>vy2t-2
Disegnare la configurazione finale delle caratteristiche e il profilo di u (x, t) per t > 0, fissato generico. Profilo di u (x,t). 0<t<2, fissato x t>2, fissato x+2 us t t = are = u=0 T a SR dar-2 * 4 Made wer Goodnotes
Goodnotes b) Verificare l'applicabilità del Teorema di Lax-Milgram mettendo in evidenza le costanti di continuità e coercività per la forma bilineare, la costante di continuità per il funzionale lineare, la stima di stabilità della soluzione. Risposta. Ossserviamo che, nell’intervallo [—1, 2], 2 T l<sż+1<5 e 0<cos(qr)<1. e Continuità di a : Utilizzando le disuguaglianze di Cauchy-Schwartz e di traccia si ha 2 2 a (u,v)| < Ji u'w'| + [ | + 3C5, |lully llully < (5 + 1+ 18) |lully [lolly 1 J-1 essendo C;, = V6. e Coercività di a : a(u,u) = I. (x? + 1) (w)? + [, (cos (Fo) u? + 3u(2)? > 2 [007 + 3027 = lay a) +302)? 1 Nello spazio V vale la disuguaglianza di equivalenza per cui a(u,u) > |ju'|ipa(=1,2) + 3u(2)? > K [lufy con costante di coercività a = K = 1/19. e Continuità del funzionale F. Usando le disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e di traccia, si trova 1 IF < | = lola rat Dite] < (V898+20%) Illy = (79 + 2¥8) lol L2(—1,2) È —Ó Cr + Stima di stabilità: Cr _ 3 lluly <= =19 (46246)
First page of the document.
