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Analisi e Geometria 1 Primo Appello 4 Febbraio 2019 Compito A Docente: # iscrizione: Cognome: Nome: Matricola: Esercizio 1. Calcolare, al variare del parametro reale α, il valore del seguente limite lim x→0+ (ex− 1−x)α sinx− arctanx. Soluzione Utilizzando gli sviluppi di Mac Laurin opportuni, possiamo dedurre le relazioni di asintoticit ˜A ex− 1−x∼ ( 1 +x + x2 2 ) − 1−x = x2 2 e sinx− arctanx∼x− x3 6 − ( x− x3 3 ) = x3 6 per x→ 0. Di conseguenza, tornando al limite, abbiamo lim x→0+ (ex− 1−x)α sinx− arctanx = 6 2α lim x→0+ x−3+2α =    +∞, se α< 3 2, 3√ 2, se α = 3 2, 0+, se α> 3 2. Esercizio 2. Studiare la funzione f(x) = ln (ex−x). (Riportare in tabella i risultati e il grafico. Riportare concisamente i calcoli sul retro del foglio) Dominio di f: D(f) = R. Si osservi che ci` o ` e conseguenza della diseguaglianza ex > x, che pu` o essere dedotta per ogni x∈ R da un semplice confronto grafico. Studio del segno di f: f(x)> 0 per x̸= 0 e f(x) = 0 per x = 0. Anche in questo caso, questo si pu` o dedurre per confronto grafico tra le funzioni ex e x + 1. Limiti agli estremi: lim x→−∞ f(x) = +∞ e lim x→+∞ f(x) = +∞ Eventuali asintoti: y =x ` e asintoto obliquo perx→ +∞, mentre per x→−∞ la funzione non ammette asintoti. Derivata prima: f′(x) = ex− 1 ex−x, x ∈ R Studio del segno di f′: f′(x)> 0 in (0, +∞), f′(x)< 0 in (−∞, 0) e f′(x) = 0 per x = 0. Estremanti di f: f ha un punto di minimo assoluto in x = 0. Non esistono massimi assoluti. Derivata seconda: f′′(x) =−(x− 2)ex + 1 (ex−x)2 , x ∈ R Studio del segno di f′′: Studiando (ancora una volta per confronto grafico) la diseguaglianza e−x > 2−x, si deduce l’esistenza di α< 0 e β >0 tali che f′′(x)> 0 in (α,β ), f′′(x)< 0 in (−∞,α )∪ (β, +∞) e f′′(x) = 0 per x =α,β . Convessit` a/concavit` a: x =α e x =β sono punti di flesso…