04 07 11consol

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1. Sia f (x, y) = ( x+y)e−x2−y2 . Determinare gli estremi assoluti di f nel triangolo chiuso di vertici (0 , 0), (a, a), (0, 2a) ( a ≥ 1 ). Soluzione Poniamo O = (0 , 0) , A = ( a, a) , B = (0 , 2a) . Il triangolo giace nel primo quadrante del piano cartesiano, e f (x, y) > 0 per ogni ( x, y) del primo quadrante, con l’eccezione dell’origine: nell’origine la funzione vale 0 , per cui l’origine ` e l’unico punto di minimo assoluto di f (x, y) nel triangolo, e 0 ` e il minimo assoluto della funzione nel triangolo. Per determinare il massimo assoluto, cerchiamo i punti di massimo della funzione sulla frontiera del triangolo e all’interno del triangolo Il lato OA del triangolo giace sulla bisettrice del primo quadrante y = x , e i suoi punti hanno coordinate ( x, x) al variare di x tra 0 e a . La funzione f ristretta al segmento OA ` eg(x) = f (x, x) = 2 xe−2x2 , la cui derivata ` e g′(x) = 2 e−2x2 (1 − 4x2) Nell’intervallo [0 , a] la derivata g′(x) ` e positiva se 0 ≤ x < 1/2 , nulla se x = 1 /2 , e negativa per x > 1/2 . Quindi il punto P (1/2, 1/2) ` e l’unico punto di massimo vincolato di f (x, y) sul segmento OA . Il valore della funzione in P ` e f (1/2, 1/2) = e−1/4−1/4 = e−1/2 Il lato OB del triangolo giace sull’asse y , e i suoi punti hanno coordinate (0 , y) al variare di y tra 0 e 2 a . La funzione f ristretta al segmento OB ` eh((y) = f (0, y) = ye−y2 , la cui derivata ` e h′(y) = e−y2 (1 − 2y2) Da questo segue che sull’asse y , la funzione ha un unico punto di massimo vincolato Q = (0 , 1/ √ 2) . Il valore della funzione in Q ` e f (Q) = f (0, 1/ √ 2) = e−1/2 √ 2 < e −1/2 = f (P ). Il lato AB del triangolo giace sulla retta di equazione x + y = 2a , e i suoi punti hanno coordinate ( x, 2a − x) al variare di x tra 0 e a . La funzione f ristretta al segmento AB…