04 07 2024 E TS

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Analisi Matematica III , quarto appello, 4 luglio 2024 Cognome: Nome: Codice persona: Esercizio 1 Si consideri la successione {fn}n∈N dove fn(x) = n3/2x2 1 + n2x4 , x ∈ R. 1. Calcolare Z R f1(x) dx. 2. Determinare il limite della successione in D′(R). Soluzione dell’esercizio 1 1. Poniamo I = Z R t2 1 + t4 t.. Passiamo alla variabile complessa e osserviamo che f (z) = z2 (1 + z4) ha 4 poli di ordine 1. z0 = ei π 4 = 1√ 2 + i 1√ 2 , z 1 = ei 3π 4 = − 1√ 2 + i 1√ 2 z2 = −ei π 4 = − 1√ 2 − i 1√ 2 , z 3 = −ei 3π 4 = 1√ 2 − i 1√ 2 . Nel semipiano {i ≥ 0} i poli sono z0 = ei π 4 e z1 = ei 3π 4 con residui Res(f, z0) = z2 0 (z0 − z1)(z0 − z2)(z0 − z3) = z2 0√ 2(i √ 2)2z0 = z0 4i = − i 4 z0 (1) Res(f, z1) = z2 1 (z1 − z0)(z1 − z2)(z1 − z3) = z2 1 − √ 2(i √ 2)2z1 = i 4 z1. (2) Utilizzando Lemma di Jordan e il teorema dei residui ricaviamo Z R f1(t)t. = 2πi  − i 4 z0 + i 4 z1  = π 2 [z0 − z1] = π√ 2 . 2. Sia φ ∈ C∞ c (R). Osserviamo che Z R φ(x)fn(x)x. = Z R φ(x) n3/2x2 1 + n2x4 x. =x=t/√n Z R φ  t√n  t2 1 + t4 t.. La funzione gn(t) := φ  t√n  t2 1+t4 ` e inL1(R) per ogni n. Inoltre φ  t√n  t2 1 + t4 ≤ ∥φ∥∞ t2 1 + t4 = G(t). Essendo G ∈ L1(R) e gn(t) → φ (0) t2 1+t4 per ogni t ∈ R, possiamo applicare il Teorema della Convergenza Dominata e ottenere lim n→+∞ Z R φ(x)fn(x)x. = φ(0) Z R t2 1 + t4 t. = φ(0) π√ 2 . Concludiamo che la successione converge in D′(R) a π√ 2 δ0. 1 Esercizio 2 Sia f : R → R definita da f (x) = ( sin x x 1 3 se x ̸= 0 0 se x = 0 . 1. Stabilire per quali p ∈ [1, +∞] si ha f ∈ Lp(R). 2. Dimostrare che f φ ∈ L1(R) per ogni φ ∈ D (R). 3. Dimostrare che il funzionale F : D(R) → R definito da F (φ) = Z R f φ dx ` e continuo. Soluzione dell’esercizio 2 1. f ` e continua e limitata, quindi f ∈ L∞(R) e f ∈ Lp loc per ogni p ≥ 1. |f |p ` e integrabile in un…