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Analisi e Geometria 1 T erzo appello 4 settembre 2017 Compito F Docente: Numero di iscri- zione all’appello: Cognome: Nome: Matricola: Prima parte Scrivere le risposte ai due seguenti quesiti A e B su questa facciata e sul retro di questo foglio. A. Enunciare e dimostrare il Teorema del Valore Medio (di Lagrange). (3 punti) B. Scrivere e dimostrare la formula che esprime il prodotto di due numeri complessi scritti in coordinate polari. (3 punti) Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e Geometria 1 Primo appello 4 Settembre 2017 Compito F Docente: Numero di iscri- zione all’appello: Cognome: Nome: Matricola: Seconda parte Punteggi degli esercizi : Es.1: 6 ; Es.2: 7 ; Es.3: 5 ; Es.4: 6. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi devono essere svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. (a) Calcolare il limite lim x→0+ xα− sin(xα) x6 +x6α2 . nei tre casi seguenti: α = 1 4, α = 1 e α = 2. Soluzione Osserviamo che, per x→ 0+ e α> 0, abbiamo xα− sin(xα) x6 +x6α2 = xα− (xα− 1 3!x3α +o(x3α) x6 +x6α2 ∼ 1 6x3α x6 +x6α2. Primo caso: α = 1 4. Perx→ 0+, 1 6x3α x6 +x6α2 = 1 6x3/4 x6 +x3/8∼ 1 6x3/4 x3/8 = 1 6x3/8→ 0 Secondo caso: α = 1. Perx→ 0+, 1 6x3α x6 +x6α2 = 1 6x3 x6 +x6∼ 1 12x3→ +∞ Terzo caso: α = 2. Perx→ 0+, 1 6x3α x6 +x6α2 = 1 6x6 x6 +x24∼ 1 6x6 x6 → 1 6 (b) Si consideri la funzione (−1, +∞) f −→ R, f(x) =x− 10 ln(1 +x). i. Determinare gli eventuali asintoti di f . ii. Determinare i punti di massimo locale e di minimo locale di f . iii. Calcolare il polinomio di Taylor di f con centro in x0 = 0 e ordine 3 . iv. Disegnare il grafico qualitativo di f . Soluzione La funzione f ha l’asintoto verticale x =−1 per x→ (−1)+ . Infatti: lim x→(−1)+ f(x) = +∞ Perx→ +∞,…