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Politecnico di Milano Ingegneria Industriale e dell’Informazione Analisi Matematica II Primo compito in itinere – 5 Maggio 2017 Cognome: Matricola: Nome: Es.1: 5 punti Es.2: 6 punti Es.3: 9 punti Es.4: 9 punti Es.5: 4 punti T otale 1. Determinare il carattere della serie ∑ n≥0 2n(n!)2 n2n . 2. Calcolare, se esiste, l’integrale improprio I = ∫ 1 0 ln x 1 − x dx . 3. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale y′′(x) − 5y′(x) + 6y(x) = e 3x + 6x2 + 2x + 4 . 4. Sia γ :    x = θ cos θ − sin θ y = θ sin θ + cos θ z = θ θ ∈ [0, 2π] . (a) Mostrare che γ ` e una curva regolare. (b) Determinare i versori della terna intrinseca di γ nel punto P corrispondente a θ = π . (c) Determinare la massa totale della curva γ rispetto alla densit` a lineare di massa δ(x, y, z ) = √ x2 + y2 + 3z2 + 3 . 5. Sia f : R → R la funzione 2 π-periodica definita, sull’intervallo ( −π, π ] , da f (x) =    x2 se − π < x < 0 1 se x = 0 x se 0 < x ≤ π e sia F la serie di Fourier associata ad f . (a) Disegnare il grafico di f sull’intervallo [ −3π, 3π] . (b) Dire se la serie F converge in media quadratica. (c) Stabilire per quali punti x ∈ [−π, π ] la serie F (x) converge puntualmente e dire a cosa converge. Istruzioni. Ogni risposta deve essere giustificata. Il testo del compito deve essere consegnato insieme alla bella, mentre i fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. T empo. 2 ore. 1 Soluzioni 1. La serie ` e a termini positivi e il termine generale ` e dato da an = 2n(n!)2 n2n . Consideriamo il rapporto an+1 an = 2n+1(n + 1)!2 (n + 1)2n+2 n2n 2n(n!)2 = 2n2n (n + 1)2n = 2 ( n n + 1 ) 2n = 2 ( 1 + 1 n ) −2n . Poich´ e lim n→ +∞ an+1 an = lim n→ +∞ 2 ( 1 + 1 n ) −2n =…