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Dom. 1 Dom 2 Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e Geometria 1 Secondo appello 05 luglio 2017 Docente: Numero di iscrizione all’appello: Cognome: Nome: Matricola: Prima parte a. Dimostrare: Se una funzione R f −→ R ` e derivabile inx0, allora ` e differenziabile inx0. (3 punti) b. Enunciare e dimostrare il teorema sulla derivata della funzione reciproca 1 /f(x). (3 punti) Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e Geometria 1 Secondo appello 05 luglio 2017 Docente: Numero di iscrizione all’appello: Cognome: Nome: Matricola: Seconda parte Punteggi degli esercizi : Es. 1: 5=2+3; Es. 2: 6=3+3; Es.3: 6=4+2; Es.4: 7=1+1+2+1+2. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. (a) Scrivere la formula di Taylor, centrata in x0 = 0, arrestata al quarto ordine, con il resto nella forma di Peano, della funzione g(x) =e−x2/2− cosx. (b) Stabilire per quali valori del parametro α in R la funzione f(x) =    e−x2/2− cosx xα se x̸= 0 0 se x = 0 ` e continua inx0 = 0. Soluzione. (a) Ricordando gli sviluppi dell’esponenziale e del coseno, si ha: e−x2/2− cosx = (1− x2 2 + x4 8 +o(x5))− (1− x2 2 + x4 24 +o(x5)) = 1 12x4 +o(x5) Dunque, la formula di Taylor cercata ` e e−x2/2− cosx = 1 12x4 +o(x5) (Se si scrivesseo(x4), invece dio(x5), la formula sarebbe ancora corretta; ma scrivendoo(x5) si d` a un’informazione pi` u precisa). (b) La funzione f ` e continua inx0 = 0 se, e solo se, lim x→0f(x) = 0. Ora: lim x→0 e−x2/2− cosx xα = lim x→0 1− x2 2 + x4 8 − 1 + x2 2 − x4 24 +o(x5) xα = lim x→0 1 12x4−α = 0 se, e solo se, 4 −α >0. (Infatti, se α = 4 il limite vale 1 /12, mentre se α >4 i limiti per x→ 0− e per x→ 0+ non sono…