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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale T eoria Analisi e Geometria 1 Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale 5 Settembre 2011 Compito A Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 6 punti; Es.2: 12 punti; Es.3: 6 punti; Es.4: 6 punti. Istruzioni: Riportare le soluzioni nelle caselle. Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Stabilire per quali valori del parametro reale α, la seguente funzione f (x) =    1 − 3√ 1 − x2 (arctan x)α se x > 0 0 se x = 0 e 1 x se x < 0 ` e continua su tuttoR. SOLUZIONE Si noti preliminarmente che f ` e continua in tutti i puntix ̸= 0. Di conseguenza bisogna calcolare il valore del limite destro e sinistro di f in x = 0. Per quanto riguarda il limite destro, utilizzando gli sviluppi di Mac Laurin opportuni, possiamo dedurre le relazioni di asintoticit` a 1 − 3 √ 1 − x2 ∼ x2 3 e (arctan x)α ∼ xα per x → 0+. Di conseguenza, tornando al limite, abbiamo lim x→0+ f (x) =    0+, se α < 2, 1 3 , se α = 2, +∞, se α > 2. Inoltre, il limite sinistro vale 0 per ogni α. Di conseguenza, f risulta continua per α < 2. 2. Studiare la funzione f (x) = ln ( ex − x) Riportare in tabella i risultati e il grafico. Riportare concisamente i calcoli sul retro del foglio. Dominio di f : D(f ) = R. Si osservi ci` o ` e conseguenza della diseguaglianza ex > x , che pu` o essere dedotta per ogni x ∈R da un semplice confronto grafico. Studio del segno di f : f (x) > 0 per x ̸= 0 e f (x) = 0 per x = 0. Anche in questo caso, questo si pu` o dedurre per confronto grafico tra le funzioni ex e x + 1. Limiti agli estremi : lim x→−∞ f (x) = + ∞ e lim x→+∞ f (x) = + ∞ Eventuali…