05 Dimostrazioni continuit e limiti

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Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica (A-L) – a.a. 2017/2018 Teorema degli zeri (di Bolzano) Sia A un intervallo e sia f : A−→ R una funzione continua. Se esistono due punti distinti a, b∈ A, tali che f (a)· f (b) < 0, allora esiste ¯x compreso tra a e b tale che f (¯x) = 0. Dimostrazione Siano a, b∈ A, con a < b , tali che f (a)· f (b) < 0. Suppongo che sia f (a) > 0 e f (b) < 0 (in caso contrario, il ragionamento ` e analogo). Considero c := a + b 2 , punto medio tra a e b . Se f (c) = 0, la tesi ` e dimostrata con ¯x = c . Se f (c)̸= 0, procedo come segue: • se f (c) > 0 pongo a1 = c e b1 = b ; • se f (c) < 0 pongo a1 = a e b1 = c . Noto che, in entrambi i casi, f (a1) > 0 e f (b1) < 0; a≤ a1 e b1≤ b ; b1− a1 = b− a 2 . Itero il procedimento e considero c1 := a1 + b1 2 , punto medio tra a1 e b1 . Se f (c1) = 0, la tesi ` e dimostrata con ¯x = c1 . Se f (c1)̸= 0, procedo come segue: • se f (c1) > 0 pongo a2 = c1 e b2 = b1 ; • se f (c1) < 0 pongo a2 = a1 e b2 = c1 . Noto che, in entrambi i casi, f (a2) > 0 e f (b2) < 0; a1≤ a2 e b2≤ b1 ; b2− a2 = b− a 22 . Iterando ancora il procedimento, ci sono due possibilit` a: o il procedimento si arresta dopo un numero finito N di iterazioni perch´ e la funzione f si annulla nel punto medio dell’intervallo costruito (e la tesi ` e dimostrata con ¯x = cN ), oppure il procedimento si ripete indefinitamente. In questo caso, costruisco due successioni {an} e{bn} con le seguenti propriet` a: 1. {an} ` e crescente e{bn} ` e decrescente; 2. a≤ an≤ b e a≤ bn≤ b per ogni n∈ N∗ ; 3. bn− an = b− a 2n per ogni n∈ N∗ ; 4. f (an) > 0 e f (bn) < 0 per ogni n∈ N∗ . Dato che sono limitate e monotone, entrambe le successioni convergono. Denotato con ¯ a il limite di{an} e con ¯b il limite di {bn}, per la regola sulla differenza…