09 Serie numeriche e serie di Taylor

Pagina 1

a.a. 2017/2018 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica (A–L) Serie numeriche e serie di Taylor Nota: questo file differisce da quello proiettato in aula per la sola impaginazione. Serie numeriche Sia{an}n∈N una successione di numeri reali. Per ogni n∈ N, definiamo la somma parziale n-esima ponendo Sn := n∑ k=0 ak ( = a0 + a1 +··· + an ) La successione {Sn}n∈N si chiama serie di termine an . Se esiste, il limite della successione {Sn} si chiama somma della serie e si denota con il simbolo +∞∑ n=0 an . Motivazione . . . Note Non ` e restrittivo supporre che la successione {an} sia definita per ogni n∈ N; se non lo ` e, assumiamo che i termini “mancanti” siano tutti uguali a 0 . Con abuso di notazione, alle volte si usa il simbolo +∞∑ n=0 an per denotare la serie di termine an , indipendentemente dal fatto che la somma della serie esista o no. 1 Per definizione, la serie di termine an ` e la successione delle somme parziali Sn costruite a partire da an . Pertanto, la frase la serie di termine an ` e    convergente divergente positivamente divergente negativamente regolare indeterminata equivale per definizione alla frase la successione delle somme parziali Sn costruite a partire da an ` e    convergente divergente positivamente divergente negativamente regolare indeterminata Studiare il carattere di una serie significa stabilire se essa converge, diverge o ` e indeterminata. 2 !!! Attenzione a non confondere • la serie di termine an con la successione {an}, • la convergenza della serie di termine an con la convergenza della successione{an}, • la somma della serie con il limite della successione {an}. Le due nozioni sono legate tramite la seguente Proposizione Se la serie di termine an converge, allora la successione {an} ` e infinitesima.…