06 Calcolo differenziale

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a.a. 2017/2018 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica (A–L) Calcolo differenziale Nota: questo file differisce da quello proiettato in aula per la sola impaginazione. Rapporto incrementale In questo capitolo, salvo avviso contrario: • A ` e un intervallo oppure l’unione di intervalli disgiunti; • ˚A ` e l’insieme dei punti interni di A, cio` e i punti diversi dagli estremi. Sia f : A→ R. Per ogni x1, x2∈ A, con x1̸= x2 , chiamiamo rapporto incrementale di f tra x1 e x2 il numero reale f (x2)− f (x1) x2− x1 · Osservazione f (x2)− f (x1) ` e la variazione assoluta della grandezza espressa da f ; f (x2)− f (x1) x2− x1 ` e la variazione media della grandezza espressa da f . Significato geometrico? 1 Derivata e derivabilit` a in un punto Sia f : A→ R. Fissato ¯x∈ A, consideriamo la funzione Rf,¯x := x∈ A\{ ¯x}↦→ f (x)− f (¯x) x− ¯x che chiamiamo funzione rapporto incrementale di f in ¯x . Se esiste, il limite di Rf,¯x(x) per x che tende a ¯x si chiama derivata di f in ¯x e si denota con f′(¯x). In simboli: f′(¯x) := lim x→¯x f (x)− f (¯x) x− ¯x · variazione istantanea della grandezza espressa da f Notazioni alternative: df dx (¯x), D f (¯x) Diciamo che f ` e derivabile in ¯x se la derivata di f in ¯x esiste ed ` e un numero reale. 2 Esempi Stabilire se le seguenti funzioni sono derivabili nei punti indicati: • f (x) = x2 ¯x = 1 • f (x) = 3√x ¯x = 0 • f (x) =    x sin (1 x ) per x̸= 0 0 per x = 0 ¯x = 0 3 Funzione derivata Sia f : A→ R. La funzione che a ogni x∈ A in cui f ` e derivabile fa corrispondere il numero f′(x) si chiama funzione derivata (prima) di f e si denota con f′ (oppure D f ). Se f′ ` e definita in A′⊆ A, diciamo che f ` e derivabile in A′ . 4