06 05 08consol

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1. Scrivere l’integrale generale dell’equazione differenziale x′′ + 4x′ + 13x = 13t + 10e−t e risolvere il problema di condizioni iniziali x (0) = x′ (0) = 0 . Soluzione L’equazione caratteristica λ2 + 4λ + 13 ha le radici complesse −2 ± 3i, quindi l’integrale generale dell’equazione omogenea ` e xh(t) = e−2t(A cos(3t) + B sin(3t)). Cercando una soluzione x1(t) dell’equazione x′′ + 4x′ + 13x = 13 t della forma x1(t) = at + b, si trova la soluzione x1(t) = t − 4 13 Cercando una soluzione x2(t) dell’equazione x′′ + 4x′ + 13x = 10e−t della forma x2(t) = ce−t, si trova la soluzione x2(t) = e−t Per il principio di sovrapposizione l’integrale generale dell’equazione data ` e x(t) = xh(t) + x1(t) + x2(t) = e−2t (A cos(3t) + B sin(3t)) + t − 4 13 + e−t Per trovare la soluzione che soddisfa le condizioni iniziali, calcoliamo la derivata x′(t) = −2e−2t (A cos(3t) + B sin(3t)) + e−2t (−3A sin(3t) + 3B cos(3t)) + 1 − e−t Sostituendo t = 0 troviamo    x (0) = A − 4 13 + 1 x′ (0) = −2A + 3B da cui, imponendo x (0) = x′ (0) = 0, ricaviamo A = − 9 13 e B = − 6 13 . Quindi la soluzione del problema di condizioni iniziali x (0) = x′ (0) = 0 ` e: x(t) = e−2t ( − 9 13 cos(3t) − 6 13 sin(3t) ) + t − 4 13 + e−t 2. Determinare per quali valori di x ∈R le serie +∞∑ n=1 xn 3n + 4n , +∞∑ n=1 sin (nx) 3n3 + 5 convergono. Soluzione La serie geometrica +∞∑ n=0 qn converge se |q|< 1. Siccome +∞∑ n=1 |x|n 3n + 4n ≤ +∞∑ n=1 ( |x| 3 )n la serie +∞∑ n=1 xn 3n + 4n converge assolutamente, e quindi anche semplicemente, se |x|< 3. Se invece |x| ≥3, il termine generale xn 3n + 4n ∼ xn 3n non tende a zero per n → +∞, e quindi la serie non converge. Si noti che il criterio del confronto vale per le serie a termini positivi: per questo abbiamo dovuto considerare il valore assoluto del termine generale.…