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Politecnico di Milano Ingegneria Industriale e dell’Informazione Analisi Matematica II Secondo compito in itinere – 7 Luglio 2017 Cognome: Matricola: Nome: Es.1: 9 punti Es.2: 8 punti Es.3: 9 punti Es.4: 7 punti T otale 1. Sia f : R2→ R la funzione definita da f(x) =    x3y2 (x2 +y2)2 se (x,y )̸= (0, 0) 0 se ( x,y ) = (0, 0). (a) Stabilire se f ` e continua in 0≡ (0, 0) . (b) Stabilire se f ` e derivabile in 0 . In caso affermativo, calcolare il gradiente ∇f(0) . (c) Stabilire lungo quali versori v = (a,b ) , a2 +b2 = 1 , esiste la derivata direzionale Dvf(0) . (d) Stabilire se f ` e differenziabile in 0 . (e) Stabilire se f∈C 1(R2) . (f) Stabilire se 0 ` e un punto critico per f . In caso affermativo, stabilire la natura di tale punto critico. 2. Sia q : R2→ R la forma quadratica definita da q(x,y ) =x2− 6xy− 7y2 ∀(x,y )∈ R2. (a) Classificare q . (b) Determinare il valore minimo assoluto ed il valore massimo assoluto che q assume sul vincolo γ : x2 +y2 = 1 . Determinare inoltre i punti di γ in cui q assume tali valori. 3. Sia Σ la superficie di equazioni parametriche    x =u2 +v2 y =u2−v2 z = 2uv (u,v )∈ Ω dove Ω ={(u,v )∈ R2 : −v≤u≤v, 1≤u2 +v2≤ 4, v≥ 0}. (a) Disegnare l’insieme Ω nel piano uv dei parametri. (b) Stabilire se Σ ` e una superficie regolare. (c) Calcolare l’area di Σ . 4. Calcolare il lavoro del campo F = (x2−y2 + 1,x 2 +y2− 1) lungo la curva γ =∂Ω , orientata positivamente, dove Ω = { (x,y )∈ R2 : x√ 3≤y≤ √ 3x, x2 +y2≤r2, x≥ 0, y≥ 0 } . Istruzioni. Ogni risposta deve essere giustificata. Il testo del compito deve essere consegnato insieme alla bella, mentre i fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. T empo. 2 ore. 1 Soluzioni 1. Sia f : R2→ R…