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LOGICA E ALGEBRA Seconda prova in itinere 7/7/2016 Esercizio 1 Si consideri la seguente formula della logica del primo ordine:             ayxfAybyAbyxfAy ,,,,, 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1  1. Si stabilisca se è vera, falsa o soddisfacibile ma non vera nell’ interpretazione che ha dominio l’insieme Z6 delle classi di resto modulo 6, in cui la costante a sia la classe uno, la costante b la classe zero, f 1 2 sia da interpretare come prodotto di classi di resto e A2 1 come l’uguaglianza. 2. Si dica se si tratta di una formula logicamente valida. 3. Si chiuda universalmente la formula data e la si porti in forma normale di Skolem. Esercizio 2 Sia                       Rcbac ba G ,, 100 10 1 , dove R è l’insieme dei numeri reali. 1. Si verifichi che G è un gruppo rispetto al prodotto di matrici. 2. Si consideri ora l’applicazione f da (G, .) a ( R, +) così definita: f:            100 10 1 c ba a- c e si verifichi che f è un omomorfismo di gruppi. 3. Si determini la ker f - classe della matrice identica , si stabilisca se è un sottogruppo di G e, in caso affermativo, se è normale in G. Motivare ogni risposta data Soluzione Esercizio 1 1) Nella interpretazione data la formula             ayxfAybyAbyxfAy ,,,,, 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1  si legge come “se non esiste una classe y in Z 6 diversa dalla classe [0] e tale che xy è la classe [0], allora esiste una classe y in Z6 che è inverso di x” o in altre parole, “se x non è la classe [0] e non è un divisore dello zero in Z6, allora x ha inverso”. Le sole classi di Z 6 che soddisfano l’antecedente sono [1] e [5] ed entrambe ammettono inverso, dunque la formula è vera. 2) La formula non è logicamente valida perché preso un dominio qualsiasi con una qualsiasi…