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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Analisi e Geometria 2 Docente: 11 settembre 2017 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. 1. Sia f : R3→ R3 la trasformazione lineare definita da: f(x,y,z ) = (x,x +hy +z,x−z(h + 3)) dove h∈ R ` e un parametro. (a) Costruire la matrice rappresentativa A di f rispetto alla base canonica. (b) Trovare i valori di h per cui la trasformazione lineare f ` e invertibile. (c) Per quali valori del parametro h la matrice A non ` e diagonalizzabile? (d) Per h = 0 trovare una matrice P tale che P−1AP sia diagonale. Soluzione (a) La matrice rappresentativa MC C (f) ` e: A =   1 0 0 1 h 1 1 0 −(h + 3)   (b) Dato che f : R3→ R3 ` e una trasformazione lineare tra spazi vettoriali della medesima dimensione, f ` e biettiva sse f ` e suriettiva ssef ` e iniettiva. Dunque basta verificare per quali valori di h la matrice A ha rango 3 . Abbiamo che: rk   1 0 0 1 h 1 1 0 −(h + 3)   =rk   1 0 0 0 h 1 0 0 −(h + 3)   dunque abbiamo rango 3 se e solo se h /∈{ 0,−3} . (c) Calcoliamo il polinomio caratteristico: pA(λ) =det(A−λI) =det   1−λ 0 0 1 h−λ 1 1 0 −(h + 3)−λ   = (1−λ)[(h−λ)(−(h + 3)−λ)] Per h /∈{ 1,−4,−3/2} gli autovalori sono distinti, quindi A ` e diagonalizzabile. Consideriamo la seguente casistica: – h = 1 . In questo caso λ1 = λ2 = 1 e ma(1) = 2 . Calcoliamo la molteplicit` a geometrica di λ1 = 1 . Abbiamo: mg(1) = 3−rk(A−I) = 3−rk   0 0 0 1 0 1 1 0 −5   = 3− 2 = 1 Dunque per h = 1 A non ` e diagonalizzabile. – h =−4 . Anche in questo caso λ1 =λ3 = 1 ,…