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F ondamenti di statistica e segnali biomedici [Mod I] (Allievi Ing Bio) Proff. Epifani, Guglielmi, Verri Prova scritta del 07.09.2018 Cognome Nome Matr. N. Nelle soluzioni non basta scrivere i risultati finali: riportare i passaggi principali e fornire adeguate spiegazioni. Scrivere le soluzioni in modo ordinato e con calligrafia leggibile: nella valutazione complessiva dell’elaborato si terr` a conto anche dell’ordine. T empo: 1h 45min Esercizio 1 Un sistema ` e formato da due componentiC1,C 2 in parallelo le cui probabilit` a di guasto valgono 0.08 e 0.04, rispettivamente. A sua volta, quel sistema ` e in serie con un terzo componenteC3 la cui probabilit` a di guasto ` e 0.02. Inoltre, i tre componenti si guastano indipendentemente uno dall’altro. 1. Disegnare lo schema del sistema totale. 2. Calcolare l’affidabilit` a (cio` e la probabilit` a di funzionamento) dell’intero sistema. 3. Calcolare la probabilit` a di funzionamento dell’intero sistema condizionatamente all’evento che C1 si guasti. Risp. Soluzione Siano C1,C 2,C 3 eventi indipendenti con Ci : “ il componente i funziona” ed S : “ il sistema totale funziona ” con P (C1) = 1− 0.08 = 0.92, P (C2) = 1− 0.04 = 0.96, P (C3) = 1− 0.02 = 0.98. Allora: 1. 2. P (S) =P (C3)P (C1∪C2) =P (C3)[P (C1) +P (C2)−P (C1)P (C2)] = 0.98[0.92 + 0.96− 0.92× 0.96] = 0.976864 1 3. Dobbiamo calcolare P (S|Cc 1). Osserviamo che condizionatamente al contrario di C1, cio` e in uno scenario in cui l’evento C1 ` e negato, l’eventoC1 non pu` o essere contemporaneamente affermato e quindi, condizionatamente a Cc 1 l’eventoS ` e logicamente equivalente all’eventoC2∩C3. Segue che P (S|Cc 1) =P (C3∩C2|Cc 1) Infine, considerato che C1,C 2,C 3 sono eventi indipendenti si ha P (C3∩C2|Cc 1) =P (C3∩C2) =P (C3)P (C2) = 0.98× 0.96 = 0.9408. Esercizio 2…