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Politecnico di Milano Ingegneria Industriale e dell’Informazione Analisi Matematica II Terzo appello – 7 Settembre 2018 Cognome: Matricola: Nome: Es.1: 7 punti Es.2: 9 punti Es.3: 7 punti Es.4: 10 punti T otale 1. (a) Determinare la soluzione f del problema di Cauchy { y′ = 3x2(y− 1)2 y(0) =−1. (b) Determinare il pi` u ampio intervallo I su cui f ` e definita. 2. Sia f : R2→ R la funzione definita da f(x,y ) =    |xy| x2 +y2 se (x,y )̸= (0, 0) 0 se ( x,y ) = (0, 0). (a) Stabilire se f ` e continua in 0 = (0, 0) . (b) Stabilire se f ` e derivabile in 0 . (c) Stabilire se 0 ` e un punto critico dif . (d) Stabilire se 0 ` e un punto di minimo assoluto di f . (e) Stabilire se f ` e limitata su R2 . (f) Stabilire se esistono le derivate direzionali di f in 0 . (g) Stabilire se esiste il piano tangente al grafico di f nel punto O≡ (0, 0, 0) . 3. Calcolare l’integrale di linea I = ∫ γ (1 +x2 +y2)3/2 ds dove γ : { x =θ cosθ y =θ sinθ θ∈ [0,π ]. 4. Sia Σ il bordo della regione Ω ={(x,y,z )∈ R3 : x2 +y2 +z2≤r2,−r≤ √ 2z≤r}. (a) Descrivere la superficie Σ . (b) Determinare l’orientazione positiva di Σ . (c) Calcolare l’area di Σ . (d) Calcolare il flusso del campo F = (xe−xyz,y e−xyz,−2ze−xyz) attraverso la superficie Σ , orientata positivamente. Istruzioni. Ogni risposta deve essere giustificata. Il testo del compito deve essere consegnato insieme alla bella, mentre i fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. T empo. 2 ore. 1 Soluzioni 1. (a) L’equazione differenziale data ` e del primo ordine a variabili separabili, con a(x) = 3x2 e b(y) = (y− 1)2 . Poich´ e la funzionea ` e continua in un intorno dix0 = 0 e la funzione b ` e di classeC1 in un intorno di y0 =−1 , il…