07 09 2023 E T

Pagina 1

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Algebra Lineare e Geometria MTM – Parte B Terzo appello Docente: 7 settembre 2023 Cognome: Nome: Matricola: La prova dura 90 minuti. Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, di cui potete utilizzare anche il retro. I fogli protocollo di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici programmabili e telefoni cellulari. Esercizio 1. Si considerino: lo spazio vettoriale V delle matrici reali 2 × 2 , la matrice B = 0 2 2 0  , e L : V → V la funzione definita dalla formula L(A) = AB − BA. 1. Si identifichi una matrice A = x y z w  con il vettore [ x, y, z, w]T ∈ R4 delle coordinate di A rispetto alla base canonica di V, e si scrivano le coordinate di L(A). Dalla formula si deduca che L ` e lineare, e si scriva la matrice M di L rispetto alla base canonica. 2. si determinino il rango di M e una base del suo nucleo. 3. si calcolino autovettori e autovalori di M, e, se possibile, una base ortonormale (rispetto al prodotto standard) di R4 formata da autovettori di M. ♡ 1 di 3 ♡ Esercizio 2. Considera la matrice reale A =   1 0 −2 1 2 −3 1 1 −1 3 −3 0   ∈ MR(3, 4). (i) Calcola le soluzioni del sistema omogeneo Ax = 0. (ii) Calcola le soluzioni del sistema lineare Ax =  0 1 −1 T . (iii) Costruisci una base B = {v1, v2, v3, v4} dello spazio vettoriale R4 contenente una base del nucleo ker( A) e una soluzione del sistema lineare studiato al punto (ii). (iv) Determina un vettore b ∈ R3 tale che • il sistema Ax = b non sia risolubile; • le soluzioni calcolate al punto (ii) siano le soluzioni ai minimi quadrati di Ax = b. ♡ 2 di 3 ♡ Esercizio 3. (i) Date A e B matrici reali 2 × 2, si calcoli la traccia di…