07 Dimostrazioni calcolo differenziale

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Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica (A-L) – a.a. 2017/2018 Teorema di Fermat Sia A un intervallo e sia f :A→ R. Sia ¯x∈ ˚A un punto di estremo locale per f in A. Supponiamo che f sia derivabile in ¯x . Allora: f′(¯x) = 0. Dimostrazione Comincio con il ricordare che, per definizione, f′(¯x) ` e il limite per x che tende a ¯x della funzione rapporto incrementale di f in ¯x , la quale ` e definita ponendo Rf ,¯x (x) = f (x)−f (¯x) x− ¯x per ogni x∈A\{ ¯x}. Per ipotesi, f ` e derivabile in ¯x , quindi f′(¯x) ` e un numero reale. Inoltre, siccome ¯ x ` e un punto interno all’intervallo A, f′(¯x) coincide con i limiti unilateri di Rf ,¯x (x) per x che tende a ¯x . In simboli: lim x→¯x− Rf ,¯x (x) =f′(¯x) = lim x→¯x + Rf ,¯x (x). (1) Suppongo che ¯x sia un punto di massimo locale per f in A. Per definizione, esiste δ∈ R∗ + tale che f (x)≤f (¯x) per ogni x∈A∩ ]¯x−δ, ¯x +δ[. (2) Siccome ¯x ` e interno all’intervalloA, gli insiemi A∩ ]¯x−δ, ¯x[ e A∩ ]¯x, ¯x +δ[ sono entrambi non vuoti; posso quindi considerare elementi di entrambi. Osservo che, per ogni x∈A∩ ]¯x−δ, ¯x[, il rapporto incrementale Rf ,¯x (x) ` e maggiore o uguale a 0, perch´ e il numeratoref (x)−f (¯x) ` e minore o uguale a 0 per (2) mentre, ovviamente, il denominatore x− ¯x ` e minore di 0. Passando al limite per x che tende a ¯x da sinistra, e applicando il teorema della permanenza del segno, ottengo lim x→¯x− Rf ,¯x (x)≥ 0; per la prima uguaglianza in (1), deduco f′(¯x)≥ 0. Per ogni x ∈ A∩ ]¯x, ¯x +δ[, il rapporto incrementale Rf ,¯x (x) ` e minore o uguale a 0, perch´ e il numeratore f (x)−f (¯x) ` e minore o uguale a 0 per (2) mentre, ovviamente, il denominatore x− ¯x ` e maggiore di 0. Passando al limite per x che tende a ¯x da destra, e applicando il teorema della permanenza del segno,…