08 05 2015

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1 Prima prova in itinere Logica e Algebra 8 maggio 2015 Esercizio 1 Verificare sia per via semantica sia usando la risoluzione che il seguente insieme di f.b.f. )}(,,),(){( CBCABACBBA  è soddisfacibile. Verificare inoltre che se v è un modello di Γ, anche v’ tale che v’(A) = v(A), v’(B) = v(B) e v’(C) = 1 – v(C) è un modello per Γ. Trovare una f.b.f. F (che non sia una f.b.f. di Γ) tale che Γ |= F e dire se Γ  { F } è insoddisfacibile. Dire, infine, se Γ |= F  C. Esercizio 2 Si consideri l’insieme dei polinomi non nulli R[x] \ {0} a coefficienti reali nell’indeterminata x. Si dimostri che la relazione   (R[x] \ {0})  (R[x] \ {0}) definita da (f(x), g(x)) ϵ  se e solo se esiste un k ϵ R\{0} tale f(x) = k ∙ g(x) è una relazione d’equivalenza R[x] e che in ogni  - classe c’è uno ed un solo polinomio monico (cioè uno ed un solo polinomio con coefficiente direttivo uguale ad 1). Si consideri poi la relazione T su (R[x] \ {0}) /  definita ponendo ([f(x)], [g(x)]) ϵ T se e solo se f(x) divide g(x) (cioè esiste un polinomio non nullo q(x) ϵ R[x] tale che g(x) = f(x) q(x)) e si provi che è una relazione d’ordine. Considerato l’insieme A = {[1 + x] , [1 – x] , [1 – x2] , [1 + x – x2 – x3]}, si dica se rispetto alla relazione T sopra definita A ammette elementi massimali, minimali, massimi e minimi e se esistono minoranti o maggioranti di A, inf(A), sup(A) in R[x] \ {0}. Esistono delle funzioni da A in A contenute in T? Quante? Quante di esse ammettono inversa destra, sinistra, bilatera? GIUSTIFICARE OGNI RISPOSTA 2 Traccia di soluzione Esercizio 1 Un modello v che soddisfa Γ deve assegnare valore 0 ad A per poter soddisfare la formula A di Γ. Affinché v soddisfi anche BA  deve allora accadere che 1)( Bv e quindi che 0)( Bv . Una tale…