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parte A Analisi Matematica II - 8 luglio 2014 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Tutte le risposte devono essere giustificate. La prova di teo ria viene valutata nel suo complesso. Domanda 1 . 1.a) Data una funzione f di 2 variabili reali, definita in un intorno dell’origine 0 = (0; 0), dare la definizione di derivata direzionale (nella direzione individuata dal v ersore v) di f nell’origine. La derivata direzionale di f in 0, è definita dal limite: Dvf(0) = lim t− →0 f (0 + tv) − f(0) t se esiste finito. 1.b) Enunciare la formula del gradiente e stabilire se si puó appl icare per calcolare le derivate direzionali nell’origine della funzione f (x, y) = x 3 √y. Per l’enunciato del teorema che riguarda la formula del grad iente vedere, per esempio, Bramanti, Pagani, Salsa, Analisi Matematica 2, pag. 132. Riporto qui il teorem a per semplicità Sia f : Ω ⊂ R2 − →R, Ω aperto, f differenziabile in x0 ∈ Ω. Allora per ogni versore v = ( v1, v2) esiste Dvf (x0) e vale: Dvf (x0) = ∇f(x0) · v = 2
i=1 ∂f ∂xi vi Riguardo alla applicazione della formula del gradiente per f(x, y) = x 3 √y, notiamo che fx(x, y) = 3√y; fy(x, y) = 1 3 xy−2/3 quindi le derivate parziali non sono continue nell’origine . La condizione sufficiente di differenziabilità non è verificate. Verifichiamo la differenziabilità direttamente. f è differenziabile in 0 se e solo se: f (x, y) − f(0, 0) − fx(0, 0)x − fy(0, 0)y = o((x2 + y2)1/2) (1) fx(0, 0) = lim x− →0 f(x, 0) − f (0, 0) x = 0; fy(0, 0) = lim y− →0 f(0, y) − f (0, 0) y = 0; La (1) diventa:     x 3 √y (x2 + y2)1/2     = passando a coordinate polari      ρ 4/3 cos θ sin1/3 θ ρ      ≤ ρ 1/3 − →0 Conclusioni. f (x, y) = x 3 √y è differenziabile nell’origine e si può applicare la formula…