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LOGICA E ALGEBRA 8 settembre 2014 PARTE DI ALGEBRA Esercizio 1 Si consideri l’insieme X =  )18,3(),48,6(),20,2(),16,2(),30,5(),10,1(),8,1(),12,2( e la relazione R su X così definita (m,n) R (p,q) se e solo m ∙ q = n ∙ p a) Si dimostri che R è una relazione d’equivalenza su X e si determini l’insieme quoziente X / R. b) Si consideri la funzione f : X / R → Q definita nel seguente modo: n mnmfRXnm  )]),([(/)],[( , dove Q è l’insieme dei numeri razionali, e si dimostri che la definizione di f è ben posta. Si stabilisca poi se f ammette inverse destre e/o sinistre e in caso affermativo se ne fornisca un esempio. Si consideri, ora, la relazione S su X così definita (m,n) S (p,q) se e solo m ≤ p e n ≤ q c) Si dica se S è una relazione d’ordine su X e in caso affermativo si indichino, se esistono, massimali, minimali, massimo e minimo di X rispetto ad S. Esercizio 2 Si definiscano sull’insieme R dei numeri reali le seguenti operazioni binarie  e :  yx, R 2 3 33 xyyx yxyx   a) Si dimostri che (R ,  , ) è un campo. b) Si verifichi che l’applicazione f : (R ,+) (R ,  ) definita ponendo, per ogni x ϵ R, f (x) 3 x è un isomorfismo di gruppi, dove + è l’usuale operazione di addizione fra numeri reali. c) Facoltativo: si stabilisca se l’applicazione f definita al punto precedente è anche un isomorfismo tra i campi (R ,+, ∙) e (R,  , ), dove ∙ è l’usuale operazione di moltiplicazione fra numeri reali. GIUSTIFICARE OGNI RISPOSTA SOLUZIONE DELLA PARTE DI ALGEBRA Esercizio 1 a) Considerata la relazione R su X mostriamo che è d’equivalenza. R è riflessiva infatti, per ogni ),( nm X, si ha m · n = n · m e quindi (m, n) R (m, n); R è simmetrica infatti se (m, n) R (p, q) si ha m ∙ q = n ∙ p e quindi, per la commutatività del prodotto e la simmetria dell’uguaglianza, p…