08 Calcolo integrale

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a.a. 2017/2018 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica (A–L) Calcolo integrale Nota: questo file differisce da quello proiettato in aula per la sola impaginazione. Suddivisioni di un intervallo Una suddivisione dell’intervallo [ a, b] ` e un insieme del tipo σ = { x0, x1,..., xn } con a = x0< x1<··· < xn−1< xn = b . Se σ′ e σ′′ sono suddivisioni dell’intervallo [ a, b] tali che σ′⊂σ′′ , diciamo che σ′′ ` e pi` u fitta diσ′ . Esempi • σ′ = { 0, 3 2, 3 } e σ′′ = { 0, 1 4, 3 2, 5 2, 3 } sono suddivisioni di [0 , 3]; σ′′ ` e pi` u fitta diσ′ . • Suddivisione banale: σ ={a, b} • Suddivisione uniforme: σn = { xk := a + k b− a n ⏐⏐⏐ k = 0,..., n } n≥ 1 ↑ 1 Somme di Riemann Sia f : [a, b]→ R una funzione limitata. Sia σ ={x0, x1,..., xn} una suddivisione di [ a, b]. Per ogni k = 1,..., n poniamo mk := inf [xk−1,xk] f M k := sup [xk−1,xk] f . Definiamo • s(f,σ ) := n∑ k=1 mk (xk− xk−1) somma inferiore di Riemann • S(f,σ ) := n∑ k=1 Mk (xk− xk−1) somma superiore di Riemann Significato geometrico per funzioni non negative . . . Vediamo qualche esempio . . . 2 Proposizione Sia f : [a, b]→ R una funzione limitata. • Per ogni σ suddivisione di [ a, b] si ha s(f,σ )≤ S(f,σ ). • Se σ′ e σ′′ sono suddivisioni di [ a, b] e σ′′ ` e pi` u fitta diσ′ , allora s(f,σ′)≤ s(f,σ′′) e S(f,σ′′)≤ S(f,σ′). • Se σ′ e σ′′ sono suddivisioni di [ a, b] si ha s(f,σ′)≤ S(f,σ′′). 3 Integrale di Riemann Sia f : [a, b]→ R una funzione limitata. Consideriamo l’insieme delle somme inferiori di Riemann s(f ) := { s(f,σ )|σ suddivisione di [ a, b] } e l’insieme delle somme superiori di Riemann S(f ) := { S(f,σ )|σ suddivisione di [ a, b] } . Osservazione Per la proposizione precedente, questi due insiemi sono separati, cio` e: ogni elemento di s(f ) ` e minore o uguale di ogni elemento di S(f ). Di…