08 Dimensioni colonna e riga

Pagina 1

LEZIONE8 - 15:3.23 TEOREMA(Unitàdellerappresentazionerispettoad und busel HpiSiaB:{r',...., r]una baseperuno spaziorettorialeV- AlbrarognielementoEV,eiscrive in ThImodeunico come combulinearedeglielementidiab DIM.V= Span(r,,..., n),5EV- Sperpartecesale) supponiamoperassurdo che E=1+V- - - - + Xa Th= htt....+ unallera(2,-h,(+---- +(Xn- rn)*=8 linr.Tick,=0,.., AnhnOcox,=h,,...,hn indip. t LEMME(Fondamentale)See....e eS= {i!,------, Em3insieme divettorin=n alloraélineamentedipendente- DIM.Dabase=>i=A,v'+.... + inM (Nonrichiesto peresame ⊥mart...+xumEn quind h,i+..- + umEr= 8X > A(Ch,Xert....+ Mmim +...+ (ent...+ Mtm)*= da -- indipend2,......im e ⑧ 0 lineare&c,Azz-----zm Me- " r= r(A)=min(n,m)=n di i ! ! XM S e(tuttii me ----ArmMm jsoff.devi=0)- PerR-C.soluzionidipendonode(m-r)parametricioeIsoluzionenon nulles linearmdipen⑰ TEOREMA./IMPORT ANTE)(dellabase)(richiest ~partesHp[V.spazioretoriale. 8,= 9r'....,be escme) ③32= Scrt,......on]duebasiperV. Th[Alloram= m DIM.i)m=m Comme &1ébasefond. insiemichecontengono dielem - n=melementisono Lineareardipendenti=> -che ébase(quindilinearindipdeneconteneremem elementi ii)men Analogoscambiandorece Def.ChiamiamoDIMENSIONEdi uno spazioretorialeVil numero divettori diuna base- Esempi:1)dim.(14)= 2 2)aim((R3)=3 3)Chim(M(2))=3 (metricisimmatrice)4)dim(/P2)=3 (polinomigr.=2) PROPRIET A a)dim(V)= no messinodivetrilinearindipenditV. b)dim(r)=no minimodigeneratori es.Nonsempreèpossibiletrovareuna base formatadaun numero finitodivettoriinun SpazioV- Inquestocaso diremocheha dimensione. Sivedanoes.8,9,10dispaziretoriali - Nell'es.8Iuna basenumerabile(1,2,2,........ OSS-28guninsiemes divettorilinearmenteindipendd'unospazioretorialeVpuòesserecompletatoperottenereuna base- Supponiamodim(V)= n. QuindinodiveltoriinSIM. · Seégeneratoreégiàuna baseI…