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Es.1 Es.2 Es.3 Es.4 Totale Analisi e Geometria 2 Docente: 9 febbraio 2017 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. 1. SiaL : R3→ R3 l’applicazione lineare la cui matrice rappresentativa, rispetto alla base canonica, ` e A =   1 −2 α + 4 0 0 2 −1 2 α + 2  , α ∈ R. a) Determinare, al variare di α, una base per kerL e una per ImL. b) Stabilire, al variare di α∈ R, se esiste una base ortogonale di R3 rispetto alla quale la matrice rappresentativa ` e diagonale. c) Stabilire, al variare di α∈ R, se esiste una base qualsiasi di R3 rispetto alla quale la matrice rappresentativa ` e diagonale. Determinarla esplicitamente nel casoα = 2. Soluzione: a) Si ha Bker =      2 1 0     , BIm =      1 0 −1  ,   α + 4 2 α + 2      ; b) Poich´ eA non ` e simmetrica, non ` e possibile, per alcun valore di α, avere una base ortogonale di autovettori. c) Occorre stabilire se gli autovalori di A sono regolari, e dunque se A ` e diagonalizzabile. Si ha det(A−λI) =−λ[λ2− (3 +α)λ + (2α + 2)] =−λ(λ− 2)[λ− (α + 1)], gli autovalori sono quindi 0, 2 e α + 1. Se α̸=±1 la matrice A possiede tre autovalori distinti, dunque ` e diagonalizzabile. • Se α =−1, λ = 0 ` e autovalore con molteplicit` a algebrica 2, ma rkA = 2, dunque λ = 0 non ` e regolare e A non ` e diagonalizzabile. • Se α = 1, λ = 2 ` e un autovalore con molteplicit` a algebrica 2, ma rk(A− 2I) = 2, dunque anche λ = 2 non ` e regolare e A non ` e diagonalizzabile. Ponendo α = 2, gli autovalori sono λ1 = 0, λ2 = 2, λ3 = 3, gli…