110422 Parte B parziale

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Es. 1 Es. 2 Totale Analisi e Geometria 2 – Parte B Docente: 11 aprile 2022 Cognome: Nome: Matricola: La prova dura 45 minuti. Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, di cui potete utilizzare anche il retro. I fogli protocollo di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici programmabili e telefoni cellulari. Esercizio 1. Sia C = {e1, e2, e3} la base canonica per lo spazio vettoriale R3, euclideo rispetto al prodotto scalare standard. Sia F : R3 → R3 l’unica applicazione lineare tale che F (e1) = e1 − e2 + 2e3 , F (e2) = a e1 + e2 − 2e3 , F (e3) = (1 − a)e1 − 2e2 + 4e3 , dove a ` e un parametro reale. 1. Per ogni a ∈ R, determinare una base di nucleo e immagine di F . 2. Per quale valore di a il vettore e1 − e2 + 2e3 ` e un autovettore diF ? Per tale valore, se possibile, determinare una base ortonormale di R3 formata da autovettori di F . 3. Posto a = 2, verificare che lo scalare 3 ` e un autovalore di F e stabilire se esiste una base di R3 formata da autovettori di F . ♡ 1 di 3 ♡ svolgimento esercizio 1 continua ♡ 2 di 3 ♡ Esercizio 2. Risolvere il problema di Cauchy    y′′ + 4y = 4t2 + 4t + 6 y(0) = 0 y′(0) = 2 ♡ 3 di 3 ♡ Es. 1 Es. 2 Totale Analisi e Geometria 2 – Parte B Docente: 11 aprile 2022 Cognome: Nome: Matricola: La prova dura 45 minuti. Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, di cui potete utilizzare anche il retro. I fogli protocollo di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici programmabili e telefoni cellulari. Esercizio 1. Sia C = {e1, e2, e3} la base…