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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Metodi Analitici e Numerici per l’Ingegneria Primo appello Docente: 12 Febbraio 2013 Cognome: Nome: Matricola: • Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. RIPORTARE TUTTI I COMANDI MATLAB UTILIZZATI. DOMANDA 1 Si consideri il problema di Cauchy-Dirichlet:    ut− uxx = 0 ( t, x)∈ Ω = (0, +∞)× (0, π) , u(t, 0) = 0 t > 0 u(t, π) = π/4 t > 0 u(0, x) =− sin 2x + 2 sin 3x + x/4 x∈ [0, π] (1) 1. Si risolva il problema col metodo della separazione delle variabili, scrivendo solamente i passaggi principali, ma giustificandoli accuratamente. 2. Si calcoli u∞(x) = lim t→+∞ u(t, x) e mostri che il risultato ` e compatibile con il principio del massimo. 3. Sia uh(x, t) =∑Nh j=1 uj(t)ψj(x) la soluzione approssimata agli elementi finiti del problema (1), e Mu′(t) + Au(t) = F (2) il sistema risultante dalla semidiscretizzazione spaziale, dove [ u(t)]j = uj(t). Scrivere le matrici M, A e il vettore F in funzione delle funzioni ψj(x) che costituiscono la base dello spazio a elementi finiti. 4. Si riportino i valori numerici delle matrici M, A e del vettore F ipotizzando di effettuare la discretizzazione spaziale con elementi finiti lineari definiti su una partizione uniforme dell’intervallo [0, π ] con passo h = π/5. 5. Ipotizzando di effettuare la discretizzazione temporale con il metodo di Eulero in avanti, si derivi la condizione sul passo di avanzamento temporale per l’assoluta stabilit` a del metodo. 1 DOMANDA 2 Si consideri il problema di Cauchy { y′(t) =−3y(t) + sint t > 0 y(0) = 1 1. Si ricavi l’algoritmo di Eulero all’indietro (ossia si scriva esplicitamente quale approssi- mazione si utilizza)…